విషయము

• దశలు
• చిట్కాలు
• హెచ్చరికలు

హైపర్బోలా యొక్క అసింప్టోట్స్ దాని కేంద్రం గుండా వెళ్ళే పంక్తులు. హైపర్బోల్ అసింప్టోట్లకు చాలా దగ్గరగా వస్తుంది, కానీ వాటిని ఎప్పుడూ చేరుకోదు. అసింప్టోట్లను లెక్కించడానికి రెండు వేర్వేరు విధానాలు ఉన్నాయి. ఈ భావనను బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి రెండింటినీ ఉపయోగించడం నేర్చుకోండి.

దశలు

2 యొక్క పద్ధతి 1: కారకం

1. 

   హైపర్బోలా సమీకరణాన్ని దాని ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాయండి. ఒక సాధారణ ఉదాహరణతో ప్రారంభిద్దాం: హైపర్బోలా దాని మూలానికి మధ్యలో ఉంటుంది. ఈ హైపర్బోల్స్ కొరకు, సమీకరణం యొక్క ప్రామాణిక రూపం /_ది - /_బి క్షితిజ సమాంతర హైపర్బోల్స్ కోసం = 1 లేదా /_బి - /_ది నిలువు హైపర్బోలాస్ కోసం = 1. అది గుర్తుంచుకోండి x మరియు y వేరియబుల్ అయితే ది మరియు బి స్థిరంగా ఉంటాయి (సాధారణ సంఖ్యలు).
   • ఉదాహరణ 1:/₉ - /₁₆ = 1
   • కొన్ని పాఠ్యపుస్తకాలు మరియు ఉపాధ్యాయులు స్థానాలను మారుస్తారు ది మరియు బి ఈ సమీకరణాలలో. ఏమి జరుగుతుందో అర్థం చేసుకోవడానికి సమీకరణాన్ని జాగ్రత్తగా అనుసరించండి. మీరు సమీకరణాలను కంఠస్థం చేస్తే, మీరు వేరే భావనతో వ్యవహరించడానికి సిద్ధంగా ఉండరు.

2. 

   
   
   సమీకరణాన్ని ఒకదానికి బదులుగా సున్నాకి సమానంగా సెట్ చేయండి. ఈ క్రొత్త సమీకరణం రెండు అసింప్టోట్‌లను సూచిస్తుంది, అయినప్పటికీ వాటిని వేరు చేయడానికి కొంచెం ఎక్కువ పని అవసరం.
   • ఉదాహరణ 1:/₉ - /₁₆ = 0

3. 

   
   
   కొత్త సమీకరణానికి కారకం. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు రెండు ఉత్పత్తులుగా కారకం. మీరు ఫ్యాక్టరింగ్ ఎలా చేయాలో మీ జ్ఞాపకశక్తిని రిఫ్రెష్ చేయవలసి వస్తే, లేదా వాటిని అనుసరించండి ఉదాహరణ 1:
   • మేము (__ ± __) (__ ± __) = 0 రూపంలో ఒక సమీకరణంతో ముగుస్తాము.
   • మొదటి రెండు పదాలు ఏర్పడటానికి గుణించాలి /₉, ఆపై వర్గమూలాన్ని లెక్కించి, ఈ ఖాళీలలో వ్రాయండి: (/₃ ± __)(/₃ ± __) = 0
   • అదేవిధంగా, యొక్క వర్గమూలాన్ని లెక్కించండి /₁₆ మరియు మిగిలిన రెండు ఖాళీలలో ఉంచండి: (/₃ ± /₄)(/₃ ± /₄) = 0
   • ఇతర నిబంధనలు లేనందున, ప్లస్ మరియు మైనస్ గుర్తును రాయండి, తద్వారా ఇతర నిబంధనలు గుణించినప్పుడు రద్దు చేయబడతాయి: (/₃ + /₄)(/₃ - /₄) = 0

4. 

   
   
   కారకాలను వేరు చేసి విలువను కనుగొనండి y. అసింప్టోట్ సమీకరణాలను సమీకరించటానికి, రెండు కారకాలను వేరు చేసి, నిబంధనల విలువలను కనుగొనండి y.
   • ఉదాహరణ 1: ఎలా (/₃ + /₄)(/₃ - /₄) = 0, మనకు తెలుసు /₃ + /₄ = 0 మరియు /₃ - /₄ = 0
   • తిరిగి వ్రాయండి /₃ + /₄ = 0 → /₄ = - /₃ → y = - /₃
   • తిరిగి వ్రాయండి /₃ - /₄ = 0 → - /₄ = - /₃ → y = /₃

5. 

   అదే విధానాన్ని మరింత కష్టమైన సమీకరణంతో చేయడానికి ప్రయత్నించండి. మూలం మీద కేంద్రీకృతమై ఉన్న హైపర్బోల్ యొక్క అసింప్టోట్లను మేము కనుగొన్నాము. (H, k) వద్ద కేంద్రంతో ఉన్న హైపర్బోలా రూపంలో ఒక సమీకరణాన్ని కలిగి ఉంటుంది /_ది - /_బి = 1 లేదా రూపంలో /_బి - /_ది = 1. పైన వివరించిన అదే ఫ్యాక్టరింగ్ పద్ధతిలో మీరు వాటిని ఖచ్చితంగా పరిష్కరించవచ్చు. (X - h) మరియు (y - k) నిబంధనలను చివరి దశ వరకు అలాగే ఉంచండి.
   • ఉదాహరణ 2: /₄ - /₂₅ = 1
   • సమీకరణాన్ని సున్నాకి సెట్ చేయండి మరియు దాన్ని పొందటానికి కారకం:
   • (/₂ + /₅)(/₂ - /₅) = 0
   • ప్రతి కారకాన్ని వేరు చేసి, మీరు అసింప్టోట్ సమీకరణాలను కనుగొనే వరకు గణనను పరిష్కరించండి:
   • /₂ + /₅ = 0 → y = - /₂x + /₂
   • (/₂ - /₅) = 0 → y = /₂x - /₂

2 యొక్క విధానం 2: విలువను కనుగొనడం y

1. 

   హైపర్బోలా సమీకరణాన్ని ఎడమ వైపున y అనే పదంతో వ్రాయండి. మీకు చదరపు రూపంలో ఉన్న సమీకరణం ఉంటే ఈ పద్ధతి ఉపయోగపడుతుంది. ఇది హైపర్బోల్స్ యొక్క ప్రామాణిక రూపంలో ఉన్నప్పటికీ, ఈ విధానం అసింప్టోట్ల స్వభావంపై మీకు ఎక్కువ అవగాహన ఇస్తుంది. Y లేదా (y - k) అనే పదాలు ప్రారంభించడానికి ఒక వైపు ఉండే విధంగా సమీకరణాన్ని క్రమాన్ని మార్చండి.
   • ఉదాహరణ 3:/₁₆ - /₄ = 1
   • నిబంధనలను జోడించండి x రెండు వైపులా, ఆపై ప్రతి వైపు 16 గుణించాలి:
   • (y + 2) = 16 (1 + /₄)
   • సరళీకృతం:
   • (y + 2) = 16 + 4 (x + 3)

2. 

   ప్రతి వైపు వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి. వర్గమూలాన్ని లెక్కించండి, కానీ ఇంకా కుడి వైపు సరళీకృతం చేయడానికి ప్రయత్నించవద్దు. వర్గమూలాన్ని లెక్కించేటప్పుడు, రెండు సాధ్యమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయని గుర్తుంచుకోండి: ఒకటి సానుకూల మరియు ఒక ప్రతికూల. ఉదాహరణకు: -2 * -2 = 4, కాబట్టి √4 -2 లేదా 2 కు సమానంగా ఉంటుంది.) రెండు పరిష్కారాలను సూచించడానికి ప్లస్ లేదా మైనస్ గుర్తు "±" ను ఉపయోగించండి.
   • ((Y + 2)) = √ (16 + 4 (x + 3))
   • (y + 2) = ± √ (16 + 4 (x + 3))

3. 

   అసింప్టోట్ యొక్క నిర్వచనాన్ని సమీక్షించండి. తదుపరి దశతో కొనసాగడానికి ముందు మీరు దీన్ని అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం. హైపర్బోలా యొక్క అసింప్టోట్ ఒక రేఖ, దీనిలో హైపర్బోలా విలువ ఉన్న చోటికి దగ్గరగా ఉంటుంది x పెరుగుతుంది. ది x వాస్తవానికి అసింప్టోట్‌ను చేరుకోగలదు, కాని మనం హైపర్బోల్‌ను అధిక విలువలతో అనుసరిస్తే x, మేము అసింప్టోట్‌కు దగ్గరగా మరియు దగ్గరగా ఉంటాము.

4. 

   యొక్క అధిక విలువల కోసం సమీకరణాన్ని సర్దుబాటు చేయండి x. మేము అసింప్టోట్ సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి ప్రయత్నిస్తున్నప్పుడు, దాని విలువ x ఇది పెద్ద విలువలను కలిగి ఉంటే మాత్రమే మాకు ఆసక్తి ఉంటుంది ("అనంతం సమీపిస్తోంది"). సమీకరణంలో కొన్ని స్థిరాంకాలను విస్మరించడానికి ఇది మనలను అనుమతిస్తుంది, ఎందుకంటే అవి ఈ పదానికి చాలా తక్కువ భాగాన్ని అందిస్తాయి x. ఎప్పుడు అయితే x 99 బిలియన్లు (ఉదాహరణకు), దీనికి 3 సంఖ్యను జోడించడం చాలా చిన్నది కనుక మనం దానిని విస్మరించవచ్చు.
   • సమీకరణంలో (y + 2) = ± (16 + 4 (x + 3)), అయితే x అనంతానికి చేరుకుంటుంది, అప్పుడు 16 అసంబద్ధం అవుతుంది.
   • (y + 2) = యొక్క పెద్ద విలువలకు సుమారు ± √ (4 (x + 3)) x.

5. 

   యొక్క విలువను లెక్కించండి y అసింప్టోట్ కోసం రెండు సమీకరణాలను కనుగొనడం. ఇప్పుడు మీరు స్థిరంగా వదిలించుకున్నారు, వర్గమూలాన్ని సరళీకృతం చేయండి. నిబంధనలను లెక్కించండి y సమాధానం పొందడానికి. ± గుర్తును రెండు వేర్వేరు సమీకరణాలుగా విభజించడం గుర్తుంచుకోండి, ఒకటి "+" గుర్తుతో మరియు మరొకటి "-" గుర్తుతో.
   • y + 2 = ± √ (4 (x + 3) ^ 2)
   • y + 2 = ± 2 (x + 3)
   • y + 2 = 2x + 6 మరియు y + 2 = -2x - 6
   • y = 2x + 4మరియుy = -2x - 8

చిట్కాలు

• హైపర్బోల్ సమీకరణం మరియు దాని జత అసింప్టోట్లు ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటాయి.
• దీర్ఘచతురస్రాకార హైపర్బోలా అంటే a = b = స్థిరాంకం = c.
• వారితో వ్యవహరించేటప్పుడు, మీరు మొదట దానిని దాని ప్రామాణిక రూపంలోకి మార్చాలి, ఆపై అసింప్టోట్లను కనుగొనండి.

హెచ్చరికలు

• సమీకరణాలను ఎల్లప్పుడూ వాటి ప్రామాణిక రూపంలో ఉంచాలని గుర్తుంచుకోండి.