విషయము

• స్టెప్స్
• సమాధానాలు మరియు సమస్యల ఉదాహరణలు
• చిట్కాలు
• హెచ్చరికలు

త్రికోణము అనేది మూడు పదాలతో కూడిన బీజగణిత వ్యక్తీకరణ. మీరు బహుశా క్వాడ్రాటిక్ త్రినామియల్స్ కారకాన్ని నేర్చుకుంటారు, అవి గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి రూపంలో వ్రాసిన త్రికోణికలు. వివిధ రకాలైన క్వాడ్రాటిక్ త్రికోణికలకు వర్తించే అనేక ఉపాయాలు ఉన్నాయి, కానీ మీరు అభ్యాసంతో మంచి మరియు వేగవంతం అవుతారు. అధిక డిగ్రీ బహుపదాలు, లేదా x వంటి పదాలతో ఎల్లప్పుడూ ఒకే పద్ధతులతో పరిష్కరించబడవు, కానీ మీరు ఏదైనా సరళమైన సూత్రంతో పరిష్కరించగల సమస్యలుగా మార్చడానికి సాధారణ కారకాన్ని లేదా పదాలను భర్తీ చేయడాన్ని తరచుగా ఆశ్రయించవచ్చు. .

స్టెప్స్

3 యొక్క పద్ధతి 1: కారకం x + bx + c

1. 

   పంపిణీ ఆస్తిని నేర్చుకోండి (ఆంగ్లంలో FOIL అని కూడా పిలుస్తారు), (x + 2) (x + 4) వంటి వ్యక్తీకరణలను గుణించడానికి. మీరు కారకాన్ని ప్రారంభించడానికి ముందు, ఇది ఎలా పనిచేస్తుందో తెలుసుకోవడం మంచిది:
   • గుణకారం ప్రధమ నిబంధనలు: (x+2)(x+4) = x + __
   • యొక్క నిబంధనలను గుణించండి బయటకు: (x+2) (x +4) = x +4x + __
   • యొక్క నిబంధనలను గుణించండి లోపల: (x +2)(x+4) = x + 4x +2x + __
   • గుణకారం గత నిబంధనలు: (x +2) (x +4) = x + 4x + 2x +8
   • సరళీకృతం చేయండి: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8

2. 

   
   
   ఫ్యాక్టరింగ్ అర్థం చేసుకోండి. డిస్ట్రిబ్యూటివ్‌ను ఉపయోగించి మీరు రెండు ద్విపదలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించినప్పుడు, మీరు రూపంలో ఒక త్రికోణిక (మూడు పదాలతో వ్యక్తీకరణ) తో ముగుస్తుంది దిx +Bx +ç, దీనిలో “a”, “b” మరియు “c” సాధారణ సంఖ్యలు. మీరు అదే విధంగా ఒక సమీకరణంతో ప్రారంభిస్తే, దాన్ని రెండు ద్విపదలుగా మార్చడం ద్వారా మీరు దాన్ని కారకం చేయవచ్చు.
   • ఆ క్రమంలో సమీకరణం వ్రాయబడకపోతే, నిబంధనలను తగిన స్థానానికి తరలించండి. ఉదాహరణకు, తిరిగి వ్రాయండి 3x - 10 + x వంటి x + 3x - 10.
   • అతిపెద్ద ఘాతాంకం 2 (x) కాబట్టి, ఈ వ్యక్తీకరణను "క్వాడ్రాటిక్" అంటారు.

3. 

   
   
   సమర్పించిన పద్ధతి యొక్క సమాధానం కోసం స్థలాన్ని కేటాయించండి. ప్రస్తుతానికి, రాయండి (__ __) (__ __) సమాధానానికి అంకితమైన స్థలంలో. మేము త్వరలో ఈ ఫీల్డ్‌లను నింపుతాము.
   • ఖాళీ పదాల మధ్య ఇంకా + లేదా - గుర్తు పెట్టవద్దు, ఎందుకంటే ఏది ఉపయోగించబడుతుందో మాకు తెలియదు.

4. 

   మొదటి నిబంధనలను పూరించండి. సాధారణ సమస్యలలో, మీ త్రికోణం యొక్క మొదటి పదం x మాత్రమే ఉన్నట్లయితే, మొదటి స్థానం యొక్క నిబంధనలు ఎల్లప్పుడూ ఉంటాయి x మరియు x. X సార్లు x = x కాబట్టి ఇవి x యొక్క కారకాలు.
   • మా ఉదాహరణ, x + 3x - 10, x తో మొదలవుతుంది, కాబట్టి మనం వ్రాయవచ్చు:
   • (x __) (x __)
   • 6x వంటి పదంతో ప్రారంభమయ్యే త్రికోణికలతో సహా తదుపరి విభాగంలో మరింత విస్తృతమైన సమస్యలను పరిశీలిస్తాములేదా -x. ప్రస్తుతానికి, ఉదాహరణ సమస్యను అనుసరించండి.

5. 

   
   
   చివరి నిబంధనలను to హించడానికి ఫ్యాక్టరింగ్ ఉపయోగించండి. మీరు తిరిగి వెళ్లి ప్రారంభంలో ఉపయోగించిన పద్ధతిని మళ్లీ చదివితే, చివరి పదాలను గుణించడం బహుపది (తుది పదం లేనిది) లో తుది పదాన్ని ఇస్తుందని మీరు చూస్తారు. అందువల్ల, కారకంగా, చివరి పదాన్ని రూపొందించడానికి గుణించే రెండు సంఖ్యలను మనం కనుగొనాలి.
   • మా ఉదాహరణలో, x + 3x - 10, చివరి పదం -10.
   • -10 యొక్క కారకాలు ఏమిటి? ఏ రెండు సంఖ్యలు కలిసి గుణించి -10 ఫలితమిస్తాయి?
   • కొన్ని అవకాశాలు ఉన్నాయి: -1 సార్లు 10, 1 సార్లు -10, -2 సార్లు 5, లేదా 2 సార్లు -5. మీరు మరచిపోకుండా ఈ జంటలను ఎక్కడో వ్రాసుకోండి.
   • సమాధానం ఇంకా మార్చవద్దు. ఇది ఇప్పటికీ ఇలా ఉంది: (x __) (x __).

6. 

   వెలుపల మరియు లోపల గుణకారంతో ఏ అవకాశాలు పనిచేస్తాయో పరీక్షించండి. మేము తరువాతి నిబంధనలను కొన్ని అవకాశాలకు తగ్గించాము. బాహ్య మరియు అంతర్గత పదాలను గుణించడం ద్వారా ప్రతిదాన్ని పరీక్షించండి, ఆపై ఫలితాన్ని మా త్రికోణంతో పోల్చండి. ఉదాహరణకి:
   • మా అసలు సమస్యలోని "x" పదం "3x", కాబట్టి మేము పరీక్షకు రావాలనుకుంటున్నాము.
   • పరీక్ష -1 మరియు 10: (x-1) (x + 10). వెలుపల + లోపల విలువ = 10x - x = 9x. వద్దు.
   • పరీక్ష 1 మరియు -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. ఇది సరైనది కాదు. వాస్తవానికి, -1 మరియు 10 పరీక్షించిన తరువాత, సమాధానం 1 మరియు -10 పై ఫలితానికి విరుద్ధంగా ఉంటుందని మీకు తెలుసు: 9x కు బదులుగా -9x.
   • పరీక్ష -2 మరియు 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. ఇది అసలు బహుపదితో సమానంగా ఉంటుంది, కాబట్టి ఇది సరైన సమాధానం: (x-2) (x + 5).
   • ఇలాంటి సాధారణ సందర్భాల్లో, x ముందు స్థిరాంకం లేనప్పుడు, మీరు సత్వరమార్గాన్ని ఉపయోగించవచ్చు: రెండు కారకాలను జోడించి, తరువాత "x" ను ఉంచండి (-2 + 5 → 3x). ఇది మరింత క్లిష్టమైన సమస్యలతో పనిచేయదు, కాబట్టి పైన వివరించిన పూర్తి మార్గాన్ని గుర్తుంచుకోవడం మంచిది.

3 యొక్క విధానం 2: మరింత విస్తృతమైన త్రికోణికలను కారకం చేస్తుంది

1. 

   చాలా విస్తృతమైన సమస్యలను సులభతరం చేయడానికి సాధారణ కారకాన్ని ఉపయోగించండి. మీరు కారకం కావాలని చెప్పండి 3x + 9x - 30. మూడు పదాలను (వాటి "గొప్ప సాధారణ విభజన" లేదా LCD) కారకం చేసే సంఖ్య కోసం చూడండి. ఈ సందర్భంలో, ఇది 3:
   • 3x = (3) (x)
   • 9x = (3) (3x)
   • -30 = (3)(-10)
   • కాబట్టి, 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x-10). ఈ వ్యాసం ప్రారంభంలో ఉన్న దశలను ఉపయోగించి క్రొత్త త్రికోణాన్ని మనం కారకం చేయవచ్చు. సమాధానం ఉంటుంది (3) (x-2) (x + 5).

2. 

   మరింత విస్తృతమైన కారకాల కోసం చూడండి. కొన్నిసార్లు కారకం వేరియబుల్స్‌ను కలిగి ఉంటుంది లేదా మీరు సరళమైన వ్యక్తీకరణను కనుగొనే వరకు మీరు కొన్ని సార్లు కారకం చేయాల్సి ఉంటుంది. ఇవి కొన్ని ఉదాహరణలు:
   • 2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)
   • x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
   • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
   • ప్రారంభంలో ఉన్న దశలను ఉపయోగించి, కొత్త త్రికోణాన్ని మళ్లీ కారకం చేయడం మర్చిపోవద్దు. మీ జవాబును తనిఖీ చేయండి మరియు ఈ వ్యాసం చివరలో ఇలాంటి నమూనా సమస్యలను కనుగొనండి.

3. 

   X ముందు ఉన్న సంఖ్యతో సమస్యలను పరిష్కరించండి. మీరు సులభమైన రకాన్ని చేరుకునే వరకు కొన్ని క్వాడ్రాటిక్ త్రికోణికలను సరళీకృతం చేయలేము. 3x + 10x + 8 వంటి సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసుకోండి, ఆపై ఈ వ్యాసం చివర ఉదాహరణ సమస్యలతో ఒంటరిగా ప్రాక్టీస్ చేయండి:
   • సమాధానం సమీకరించండి: (__ __)(__ __)
   • మొదటి పదాలు ప్రతి "x" ను కలిగి ఉంటాయి మరియు గుణించినప్పుడు 3x అవుతుంది. ఇక్కడ ఒకే ఒక ఎంపిక ఉంది: (3x __) (x __).
   • 8 యొక్క కారకాలను జాబితా చేయండి. మా ఎంపికలు 1 సార్లు 8 లేదా 2 సార్లు 4.
   • వెలుపల మరియు లోపల ఉన్న పదాలను ఉపయోగించి వాటిని పరీక్షించండి. కారకాల క్రమం ముఖ్యమైనదని గ్రహించండి, ఎందుకంటే బయటి పదం "3x" తో గుణించబడుతుంది, "x" ద్వారా కాదు. మీరు 10x లోపల (అసలు సమస్య ప్రకారం) బయటి నుండి ఫలితాన్ని పొందే వరకు అన్ని అవకాశాలను ప్రయత్నించండి:
   • (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x తోబుట్టువుల.
   • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x తోబుట్టువుల.
   • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x తోబుట్టువుల.
   • (3x + 4) (x + 2) 6x + 4x = 10x అవును, ఇది సరైన అంశం.

4. 

   అధిక గ్రేడ్ త్రయం కోసం ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించండి. మీ గణిత పుస్తకం అధిక ఘాతాంక సమీకరణం x తో మిమ్మల్ని ఆశ్చర్యపరుస్తుంది, మీరు సమస్యను తగ్గించడానికి సాధారణ కారకాన్ని ఉపయోగించిన తర్వాత కూడా. క్రొత్త వేరియబుల్‌తో భర్తీ చేయడానికి ప్రయత్నించండి, అది సమీకరణాన్ని మీరు పరిష్కరించగలదిగా మారుస్తుంది. ఉదాహరణకి:
   • x + 13x + 36x
   • = (x) (x + 13x + 36)
   • కొత్త వేరియబుల్‌ని కనిపెడదాం. మేము y = x అని చెప్పి ప్రత్యామ్నాయాలను తయారు చేస్తాము:
   • (x) (y + 13y + 36)
   • = (x) (y + 9) (y + 4). ఇప్పుడు, అసలు వేరియబుల్‌ను మళ్ళీ ఉపయోగించండి:
   • = (x) (x + 9) (x + 4)
   • =(x) (x ± 3) (x ± 2)

3 యొక్క పద్ధతి 3: కారకం ప్రత్యేక కేసులు

1. 

   ప్రధాన సంఖ్యల కోసం చూడండి. త్రికోణిక యొక్క మొదటి లేదా మూడవ పదంలోని స్థిరాంకం ప్రధాన సంఖ్య అని తనిఖీ చేయండి. ఒక ప్రధాన సంఖ్యను స్వయంగా మరియు 1 ద్వారా మాత్రమే విభజించవచ్చు, కాబట్టి ఒక జత ద్విపద కారకాలు మాత్రమే ఉన్నాయి.
   • ఉదాహరణకు, x + 6x + 5 లో, "5" అనేది ఒక ప్రధాన సంఖ్య, కాబట్టి ద్విపద ఇలా ఉండాలి: (__ 5) (__ 1).
   • 3x + 10x + 8 సమస్యలో, 3 ఒక ప్రధాన సంఖ్య, కాబట్టి ద్విపద ఇలా ఉండాలి: (3x __) (x __).
   • 3x + 4x + 1 సమస్యకు, "3" మరియు "1" రెండూ ప్రధాన సంఖ్యలు, కాబట్టి సాధ్యమయ్యే పరిష్కారం (3x + 1) (x + 1) మాత్రమే. (మీ గణనను తనిఖీ చేయడానికి మీరు ఇప్పటికీ ఈ గుణకారం చేయాలి, ఎందుకంటే కొన్ని వ్యక్తీకరణలు కారకం కావు - ఉదాహరణకు, 3x2 + 100x + 1 కి కారకాలు లేవు).

2. 

   త్రికోణము ఒక ఖచ్చితమైన చతురస్రం అని నిర్ధారించుకోండి. ఒక ఖచ్చితమైన చదరపు త్రికోణికను రెండు సారూప్య ద్విపదలుగా మార్చవచ్చు మరియు కారకం సాధారణంగా (x + 1) (x + 1) కు బదులుగా (x + 1) గా వ్రాయబడుతుంది. ఇబ్బందుల్లో పడే కొన్ని సాధారణమైనవి ఇక్కడ ఉన్నాయి:
   • x + 2x + 1 = (x + 1), మరియు x-2x + 1 = (x-1)
   • x + 4x + 4 = (x + 2), మరియు x-4x + 4 = (x-2)
   • x + 6x + 9 = (x + 3), మరియు x-6x + 9 = (x-3)
   • రూపంలో ఖచ్చితమైన చదరపు త్రికోణంలో దిx + Bx + ç, "a" మరియు "c" అనే పదాలు ఎల్లప్పుడూ సానుకూల పరిపూర్ణ చతురస్రాలు (1, 4, 9, 16 లేదా 25 వంటివి), మరియు b (సానుకూల లేదా ప్రతికూల) అనే పదం ఎల్లప్పుడూ 2 (√a *) c) కు సమానం .

3. 

   పరిష్కారం లేదని తనిఖీ చేయండి. అన్ని త్రికోణికలను కారకం చేయలేము. మీరు చతురస్రాకార త్రికోణంలో (గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి) చిక్కుకున్నట్లయితే, ఫలితాన్ని కనుగొనడానికి చతురస్రాకార సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి. సమాధానాలు మాత్రమే ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం అయితే, నిజమైన పరిష్కారం లేదు, కాబట్టి కారకాలు లేవు.
   • నాన్-క్వాడ్రాటిక్ త్రికోణికల కొరకు, ఐసెన్‌స్టెయిన్ ప్రమాణాన్ని ఉపయోగించండి, ఇది చిట్కాల విభాగంలో వివరించబడింది.

సమాధానాలు మరియు సమస్యల ఉదాహరణలు

1. చాలా విస్తృతమైన కారకాల సమస్యలకు సమాధానాలు. "మరింత విస్తృతమైన" త్రికోణికల యొక్క సమస్యలు ఇవి. మేము వాటిని సరళీకృతం చేసాము, వాటిని సులభతరం చేస్తుంది. ఇప్పుడు, ప్రారంభంలో ఉన్న దశలను ఉపయోగించి వాటిని పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించండి, కాబట్టి మీ లెక్కలను ఇక్కడ తనిఖీ చేయండి:
   • (2y) (x + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
   • (x) (x + 11x - 26) = (x + 13) (x-2)
   • (-1) (x - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (X-3)
2. మరింత క్లిష్టమైన కారకాల సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించండి. ఈ సమస్యలకు ప్రతి పదానికి ఒక సాధారణ కారకం ఉంది, అది మొదట కారకం కావాలి. సమాధానం చూడటానికి సమాన సంకేతాల తర్వాత స్థలాన్ని హైలైట్ చేయండి మరియు మీ లెక్కలను ఇక్కడ తనిఖీ చేయండి:
   • 3x + 3x-6x = (3x) (x + 2) (x-1) your మీ జవాబును చూడటానికి ఈ స్థలాన్ని హైలైట్ చేయండి
   • -5xy + 30xy-25yx = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)
3. కష్టమైన సమస్యలతో ప్రాక్టీస్ చేయండి. ఈ సమస్యలను సులభమైన సమీకరణాలుగా మార్చలేము, కాబట్టి మీరు పరీక్షల ద్వారా (_x + __) (_ x + __) రూపంలో సమాధానం ఇవ్వాలి:
   • 2x + 3x-5 = (2x + 5) (x-1) the సమాధానం చూడటానికి హైలైట్
   • 9x + 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1) (చిట్కా: మీరు 9x కోసం కొన్ని కారకాల కంటే ఎక్కువ ప్రయత్నించాలి).

చిట్కాలు

• క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ (గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి) ను ఎలా కారకం చేయాలో మీకు తెలియకపోతే, మీరు x యొక్క విలువను కనుగొనడానికి చతురస్రాకార సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
• దీన్ని ఎలా చేయాలో మీకు తెలియకపోయినప్పటికీ, మీరు ఐసెన్‌స్టెయిన్ ప్రమాణాన్ని ఉపయోగించి బహుపదిని red హించలేము మరియు కారకం చేయలేదా అని త్వరగా నిర్ణయించవచ్చు. ఈ ప్రమాణం ఏదైనా బహుపదికి వర్తిస్తుంది, అయితే ఇది ముఖ్యంగా త్రికోణికలతో బాగా పనిచేస్తుంది. చివరి రెండు పదాలను సమానంగా విభజించి, కింది పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే ఒక ప్రధాన సంఖ్య "p" ఉంటే, అప్పుడు బహుపది red హించలేనిది:
  • స్థిరమైన పదం (వేరియబుల్ లేకుండా) p యొక్క గుణకం, కానీ p కాదు.
  • ప్రధాన పదం (ఉదాహరణకు, గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి లో "ఎ") p యొక్క గుణకం కాదు.
  • ఉదాహరణకు, 14x + 45x + 51 red హించలేము, ఎందుకంటే 45 మరియు 51 ను సమానంగా విభజించే ప్రధాన సంఖ్య (3) ఉంది, కానీ 14 కాదు, 51 ను 3 తో ​​సమానంగా విభజించలేము.

హెచ్చరికలు

• ఇది చతురస్రాకార సమీకరణాలకు చెల్లుబాటులో ఉన్నప్పటికీ, వాస్తవిక త్రికోణికలు తప్పనిసరిగా రెండు ద్విపదల ఉత్పత్తి కాదు. ఉదాహరణకు: x + 105x + 46 = (x + 5x + 2) (x - 5x + 23).