విషయము

• దశలు
• చిట్కాలు

ద్విపదలు వేరియబుల్ (x, a, 3x, 4t, 1090y) తో కూడిన చిన్న గణిత వ్యక్తీకరణలు, స్థిరమైన (1, 3, 110, మొదలైనవి) నుండి జోడించబడతాయి లేదా తీసివేయబడతాయి. ద్విపదలు ఎల్లప్పుడూ రెండు పదాలను మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి, కానీ అవి బహుపది అని పిలువబడే చాలా పెద్ద మరియు సంక్లిష్టమైన సమీకరణాల యొక్క మూలకాలు, ఈ అభ్యాసం చాలా ముఖ్యమైనది. ఈ వ్యాసం వివిధ రకాల ద్విపద గుణకారాల గురించి మాట్లాడుతుంది, కానీ వాటిని కూడా విడిగా నేర్చుకోవచ్చు.

దశలు

3 యొక్క పద్ధతి 1: రెండు ద్విపదలను గుణించడం

1. 

   గణిత పదజాలం మరియు ప్రశ్న రకాలను అర్థం చేసుకోండి. మీ తదుపరి పరీక్ష కోసం వారు ఏమి అడుగుతున్నారో మీకు తెలియకపోతే వాటిని పరిష్కరించడం అసాధ్యం. అదృష్టవశాత్తూ, పరిభాష చాలా సులభం:
   • నిబంధనలు: ఒక పదం కేవలం సమీకరణంలో ఒక భాగం జోడించబడింది లేదా తీసివేయబడుతుంది. ఇది స్థిరంగా, వేరియబుల్ లేదా రెండూ కావచ్చు. ఉదాహరణకు, 12 + 13x + 4x లో, నిబంధనలు 12,13x, మరియు 4x.
   • ద్విపద: ఇది “రెండు పదాలతో వ్యక్తీకరణ” అని చెప్పే క్లిష్టమైన మార్గం x + 3 లేదా x - 3x.
   • అధికారాలు: ఇది ఒక పదం యొక్క ఘాతాంకాన్ని సూచిస్తుంది. ఉదాహరణకు, మీరు x "x is అని చెప్పవచ్చు రెండవ శక్తి లేదా రెండింటికి పెంచబడింది.’
   • "రెండు ద్విపద (x + 3) (x + 2)," "రెండు ద్విపదల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి" లేదా "రెండు ద్విపదలను విస్తరించండి" అని అడిగే ఏ ప్రశ్న అయినా రెండు ద్విపదలను గుణించమని అడుగుతుంది.

2. 

   
   
   ద్విపద గుణకారం యొక్క క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోవడానికి FOIL అనే ఎక్రోనిం తెలుసుకోండి. FOIL అనేది రెండు ద్విపదల గుణకారానికి మార్గనిర్దేశం చేసే ఆంగ్ల పద్ధతి. FOIL అంటే మీరు ద్విపద యొక్క భాగాలను గుణించాల్సిన క్రమం: F అంటే ప్రధమ (మొదటిది), ఓ బయట (బయటి నుండి), నా ఉద్దేశ్యం లోపలి (లోపలి నుండి) మరియు L కోసం చివరిది (చివరిది) - మొదట బయట ఉన్నవారు, తరువాత లోపల ఉన్నవారు. పేర్లు నిబంధనలు వ్రాసిన క్రమాన్ని సూచిస్తాయి. మీరు ద్విపదలను (x + 2) మరియు (x + 5) గుణిస్తున్నారని అనుకుందాం. నిబంధనలు ఇలా ఉంటాయి:
   • ప్రధమ: x & x
   • Uter టర్: x & 5
   • లోపలి: 2 & x
   • చివరిది: 2 & 5

3. 

   
   
   ప్రతి కుండలీకరణాల్లో మొదటి భాగాన్ని గుణించండి. ఇది FOIL కోసం “F”. మా ఉదాహరణలో, (x + 2) (x + 5), మొదటి పదాలు “x” మరియు “x”. వాటిని గుణించి, సమాధానం రాయండి: "x."
   • మొదటి నిబంధనలు: x * x = x

4. 

   ప్రతి కుండలీకరణం యొక్క వెలుపలి భాగాలను గుణించండి. ఇవి మా సమస్య యొక్క బాహ్య “చిట్కాలు”. కాబట్టి, మా ఉదాహరణలో (x + 2) (x + 5), ఈ చిట్కాలు "x" మరియు "5" గా ఉంటాయి. కలిసి, అవి "5x" కు కారణమవుతాయి
   • బయటి నిబంధనలు: x * 5 = 5x

5. 

   
   
   ప్రతి కుండలీకరణంతో భాగాలను గుణించండి. కేంద్రానికి దగ్గరగా ఉన్న రెండు సంఖ్యలు లోపల పదం. (X + 2) (x + 5) లో, "2x" పొందటానికి మీరు "2" ను "x" ద్వారా గుణించాలి.
   • నిబంధనల లోపల: 2 * x = 2x

6. 

   ప్రతి కుండలీకరణం యొక్క చివరి భాగాలను గుణించండి. ఇది లేదు చివరి రెండు సంఖ్యలు, కానీ ప్రతి కుండలీకరణాల్లోని చివరి సంఖ్య. కాబట్టి, (x + 2) (x + 5) లో, "10" పొందటానికి "2" మరియు "5" ను గుణించండి.
   • చివరి నిబంధనలు: 2 * 5 = 10

7. 

   అన్ని నిబంధనలను జోడించండి. క్రొత్త మరియు పెద్ద వ్యక్తీకరణను సృష్టించడానికి నిబంధనలను కలిపి వాటిని కలపండి. మునుపటి ఉదాహరణ నుండి, మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము:
   • x + 5x + 2x + 10

8. 

   నిబంధనలను సరళీకృతం చేయండి. సారూప్య పదాలు ఒకే వేరియబుల్ మరియు శక్తిని కలిగి ఉన్న సమీకరణం యొక్క భాగాలు. మా ఉదాహరణలో, 2x మరియు 5x అనే పదాలు x ను పంచుకుంటాయి మరియు కలిసి జోడించవచ్చు. ఇకపై ఇలాంటి పదం లేదు, కాబట్టి అవి తాకబడవు.
   • తుది జవాబు: (x + 2) (x + 5) = x + 7x + 10
   • అధునాతన గమనిక: సారూప్య పదాలు ఎలా పనిచేస్తాయో తెలుసుకోవడానికి, గుణకారం యొక్క ప్రాథమికాలను గుర్తుంచుకోండి. 3 * 5, ఉదాహరణకు, మీరు 15 (5 + 5 + 5) పొందడానికి ఐదు మూడు సార్లు కలుపుతున్నారని అర్థం. మా సమీకరణంలో, మనకు 5 * x (x + x + x + x + x) మరియు 2 * x (x + x) ఉన్నాయి. మేము సమీకరణంలో అన్ని "x" లను జోడిస్తే, మనకు ఏడు "x" లు లేదా 7x లభిస్తాయి.

9. 

   తీసివేసిన సంఖ్యలు ప్రతికూలంగా ఉన్నాయని గుర్తుంచుకోండి. ఒక సంఖ్య తీసివేయబడినప్పుడు, ఇది ప్రతికూల సంఖ్యను జోడించినట్లే. మీరు గణనలలో మైనస్ గుర్తును ఉంచడం మరచిపోతే, మీరు తప్పు సమాధానంతో ముగుస్తుంది. ఉదాహరణ తీసుకోండి (x + 3) (x-2):
   • ప్రధమ: x * x = x
   • అవుట్: x * -2 = -2x
   • లోపలనుండి: 3 * x = 3x
   • తాజాది: 3 * -2 = -6
   • అన్ని నిబంధనలను జోడించండి: x - 2x + 3x - 6
   • సమాధానం సరళీకృతం చేయండి:x + x - 6

3 యొక్క విధానం 2: రెండు ద్విపద కంటే ఎక్కువ గుణించడం

1. 

   మూడవదాన్ని తాత్కాలికంగా విస్మరించి, మొదటి రెండు ద్విపదలను గుణించండి. ఉదాహరణ తీసుకోండి (x + 4) (x + 1) (x + 3). మేము ఒక సమయంలో ఒక ద్విపదను గుణించాలి, కాబట్టి FOIL లేదా టర్మ్ డిస్ట్రిబ్యూషన్‌తో రెండు గుణించాలి. మొదటి రెండు, (x + 4) మరియు (x + 1) ను FOIL తో గుణించడం క్రిందివి:
   • ప్రధమ: x * x = x
   • అవుట్: 1 * x = x
   • లోపలనుండి: 4 * x = 4x
   • తాజాది: 1*4 = 4
   • నిబంధనలను కలపండి: x + x + 4x + 4
   • (x + 4) (x + 1) = x + 5x +4

2. 

   మిగిలిన ద్విపదను కొత్త సమీకరణంతో కలపండి. ఇప్పుడు సమీకరణం యొక్క భాగం గుణించబడింది, మీరు మిగిలిన ద్విపదతో వ్యవహరించవచ్చు. ఉదాహరణలో (x + 4) (x + 1) (x + 3), మిగిలిన పదం (x + 3). క్రొత్త సమీకరణంతో కలిసి ఉంచండి: (x + 3) (x + 5x + 4).

3. 

   ద్విపదలోని మొదటి సంఖ్యను ఇతర కుండలీకరణాల్లోని మూడు సంఖ్యల ద్వారా గుణించండి. ఇది నిబంధనల పంపిణీ గురించి. అందువల్ల, సమీకరణంలో (x + 3) (x + 5x + 4), మీరు మొదటి x ను రెండవ కుండలీకరణం యొక్క మూడు భాగాలైన "x," "5x," మరియు "4" ద్వారా గుణించాలి.
   • (x * x) + (x * 5x) + (x * 4) = x + 5x + 4x
   • ఆ జవాబును వ్రాసి తరువాత సేవ్ చేయండి.

4. 

   ద్విపదలోని రెండవ సంఖ్యను ఇతర కుండలీకరణాల్లోని మూడు సంఖ్యల ద్వారా గుణించండి. సమీకరణాన్ని తీసుకోండి (x + 3) (x + 5x + 4). ఇప్పుడు, ద్విపద యొక్క రెండవ భాగాన్ని ఇతర కుండలీకరణాలు "x," "5x," మరియు "4" లతో గుణించండి.
   • (3 * x) + (3 * 5x) + (3 * 4) = 3x + 15x + 12
   • ఈ జవాబును మొదటిదానికి దగ్గరగా రాయండి.

5. 

   గుణకారం యొక్క రెండు ఉత్పత్తులను జోడించండి. మునుపటి రెండు దశల నుండి మీరు సమాధానాలను మిళితం చేయాలి, ఎందుకంటే అవి మీ తుది సమాధానం యొక్క రెండు భాగాలను కలిగి ఉంటాయి.
   • x + 5x + 4x + 3x + 15x + 12

6. 

   తుది సమాధానం పొందడానికి సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయండి. ఏదైనా "సారూప్య" పదం లేదా ఒకే వేరియబుల్ మరియు శక్తిని (5x మరియు 3x వంటివి) పంచుకునే పదాలు జవాబును సరళంగా చేయడానికి జోడించవచ్చు.
   • 5x మరియు 3x రూపం 8x
   • 4x మరియు 15x రూపం 19x
   • (x + 4) (x + 1) (x + 3) = x + 8x + 19x + 12

7. 

   పెద్ద గుణకారం సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఎల్లప్పుడూ పంపిణీని ఉపయోగించండి. ఏదైనా పొడవు యొక్క సమీకరణాలను గుణించడానికి మీరు టర్మ్ డిస్ట్రిబ్యూషన్‌ను ఉపయోగించవచ్చు కాబట్టి, (x + 1) (x + 2) (x + 3) వంటి పెద్ద సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మీకు అవసరమైన సాధనాలు ఇప్పుడు ఉన్నాయి. టర్మ్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ లేదా FOIL ఉపయోగించి రెండు ద్విపదలను గుణించి, ఆపై తుది ద్విపదను మొదటి రెండింటితో గుణించడానికి పదం పంపిణీని ఉపయోగించండి. కింది ఉదాహరణలో, మేము FOIL (x + 1) (x + 2) ను ఉపయోగిస్తాము మరియు తరువాత తుది జవాబును పొందడానికి (x + 3) తో నిబంధనలను పంపిణీ చేస్తాము:
   • (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 1) (x + 2) * (x + 3)
   • (x + 1) (x + 2) = x + 3x + 2
   • (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 3: + 2) * (x + 3)
   • (x + 3x + 2) * (x + 3) = x + 3x + 2x + 3x + 9x + 6
   • సమాధానం సరళీకృతం చేయండి:x + 6x + 11x + 6

3 యొక్క విధానం 3: స్క్వేరింగ్ ద్విపద

1. 

   “సాధారణ సూత్రాలను” ఎలా నిర్వహించాలో అర్థం చేసుకోండి. సాధారణ సూత్రాలు ప్రతిసారీ FOIL ను లెక్కించడానికి బదులుగా సంఖ్యలకు సరిపోయేలా మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. (X + 2) వంటి రెండవ శక్తికి (లేదా స్క్వేర్డ్) లేదా మూడవ శక్తికి (4y + 12) పెంచిన ద్విపదలను ముందుగా ఉన్న ఫార్ములాలో సులభంగా అమర్చవచ్చు, రిజల్యూషన్ వేగంగా మరియు సులభం. సాధారణ సూత్రాన్ని కనుగొనడానికి, మేము అన్ని సంఖ్యలను వేరియబుల్స్‌తో భర్తీ చేస్తాము. అప్పుడు, చివరికి, మేము జవాబులో సంఖ్యలను తిరిగి ఉంచవచ్చు. సమీకరణంతో ప్రారంభించండి (a + b), ఇక్కడ:
   • ది వేరియబుల్ పదం (గా 4y - 1, 2x + 3, మొదలైనవి). సంఖ్య లేకపోతే, 1 * x = x నుండి a = 1.
   • బి స్థిరంగా జోడించడం లేదా తీసివేయడం (x + వంటిది 10, టి - 12).

2. 

   ఏ స్క్వేర్డ్ ద్విపదలను తిరిగి వ్రాయవచ్చో తెలుసుకోండి. (a + b) మా మునుపటి ఉదాహరణ కంటే చాలా క్లిష్టంగా అనిపించవచ్చు, కానీ దాన్ని గుర్తుంచుకోండి సంఖ్యను వర్గీకరించడం అనేది దానిని స్వయంగా గుణించడం. కాబట్టి మీరు సమీకరణాన్ని మరింత సుపరిచితంగా కనిపించేలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:
   • (a + b) = (a + b) (a + b)

3. 

   క్రొత్త సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి FOIL పద్ధతిని ఉపయోగించండి. ఈ సమీకరణంలో మేము FOIL ని ఉపయోగిస్తే, ఏదైనా ద్విపద గుణకారానికి పరిష్కారంగా కనిపించే సాధారణ సూత్రాన్ని మేము పొందుతాము. గుణకారంలో, కారకాల క్రమం ఫలితాన్ని మార్చదని గుర్తుంచుకోండి.
   • (A + b) (a + b) గా తిరిగి వ్రాయండి.
   • ప్రధమ: a * a = a
   • లోపలనుండి: b * a = బా
   • అవుట్: a * b = ab
   • తాజాది: b * b = బి.
   • క్రొత్త నిబంధనలను జోడించండి: a + బా + అబ్ + బి
   • ఇలాంటి పదాలను కలపండి: a + 2ab + b
   • అధునాతన గమనిక: గుణకారం మరియు విభజన లక్షణాలు ఘాతాంకాలకు పనిచేయవు. (a + b) + b కి సమానం కాదు. ఇది ప్రజలు చేసే చాలా సాధారణ తప్పు.

4. 

   మీ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ సమీకరణాన్ని + 2ab + b ఉపయోగించండి. సమీకరణాన్ని తీసుకోండి (x + 2). మళ్ళీ FOIL ని ఉపయోగించటానికి బదులుగా, మేము మొదటి పదాన్ని “a” లో మరియు రెండవ పదాన్ని “b” లో అమర్చవచ్చు:
   • సాధారణ సమీకరణం: a + 2ab + b
   • a = x, b = 2
   • x + (2 * x * 2) + 2
   • తుది జవాబు: x + 4x + 4.
   • అసలు సమీకరణంలో (x + 2) (x + 2) FOIL చేయడం ద్వారా మీరు ఎల్లప్పుడూ మీ లెక్కలను తనిఖీ చేయవచ్చు. గణన సరిగ్గా జరిగితే మీకు ఎల్లప్పుడూ అదే సమాధానం లభిస్తుంది.
   • ఒక పదం తీసివేయబడితే, సాధారణ సమీకరణంలో దానిని ప్రతికూలంగా ఉంచడం ఇంకా అవసరం.

5. 

   మొత్తం పదాన్ని సాధారణ సమీకరణంలో చేర్చాలని గుర్తుంచుకోండి. ద్విపద (2x + 3) ఇచ్చినప్పుడు, ఒక = 2 మాత్రమే కాకుండా, ఒక = 2x అని గుర్తుంచుకోండి. మీకు మరింత సంక్లిష్టమైన పదాలు ఉన్నప్పుడు, 2 మరియు x రెండూ స్క్వేర్డ్ అని గుర్తుంచుకోవడం అవసరం.
   • సాధారణ సమీకరణం: a + 2ab + b
   • A మరియు b ని మార్చండి: (2x) + 2 (2x) (3) + 3
   • ప్రతి పదాన్ని క్వార్డాడోకు పెంచండి: (2) (x) + 14x + 3
   • సమాధానం సరళీకృతం చేయండి: 4x + 14x + 9

చిట్కాలు

• ద్విపదలు పెద్దవి కావడంతో, మీరు ద్విపద విస్తరణ అని పిలువబడే మరింత క్లిష్టమైన సిద్ధాంతాన్ని నేర్చుకోవాలి.