విషయము

• దశలు
• సంఘం ప్రశ్నలు మరియు సమాధానాలు
• చిట్కాలు

ఇతర విభాగాలు

సాంప్రదాయకంగా, ఒక భిన్నం యొక్క హారం (దిగువ) లో రాడికల్ లేదా అహేతుక సంఖ్యను ఉంచలేము. హారం లో రాడికల్ కనిపించినప్పుడు, మీరు ఆ రాడికల్ వ్యక్తీకరణను తొలగించగల పదం లేదా పదాల సమితి ద్వారా భిన్నాన్ని గుణించాలి. కాలిక్యులేటర్ల ఉపయోగం హేతుబద్ధీకరణ భిన్నాలను కొంచెం నాటిది అయినప్పటికీ, ఈ సాంకేతికత ఇప్పటికీ తరగతిలో పరీక్షించబడవచ్చు.

దశలు

4 యొక్క పద్ధతి 1: మోనోమియల్ హారంను హేతుబద్ధీకరించడం

1. 

   భిన్నాన్ని పరిశీలించండి. హారం లో రాడికల్ లేనప్పుడు ఒక భిన్నం సరిగ్గా వ్రాయబడుతుంది. హారం ఒక వర్గమూలం లేదా ఇతర రాడికల్ కలిగి ఉంటే, మీరు ఆ రాడికల్ నుండి బయటపడగల సంఖ్య ద్వారా ఎగువ మరియు దిగువ రెండింటినీ గుణించాలి. న్యూమరేటర్‌లో రాడికల్ ఉండవచ్చని గమనించండి, కాని న్యూమరేటర్ గురించి చింతించకండి.
   • హారం లో ఒక ఉందని మనం చూడవచ్చు.

2. 

   
   
   హారం లో రాడికల్ చేత న్యూమరేటర్ మరియు హారం గుణించాలి. హారం లో మోనోమియల్ పదంతో ఒక భిన్నం హేతుబద్ధీకరించడానికి సులభమైనది. భిన్నం యొక్క ఎగువ మరియు దిగువ రెండూ ఒకే పదం ద్వారా గుణించాలి, ఎందుకంటే మీరు నిజంగా చేస్తున్నది 1 గుణించాలి.
   • మీరు మీ సమస్యను కాలిక్యులేటర్‌లోకి ప్రవేశిస్తుంటే, ప్రతి సమీకరణం చుట్టూ కుండలీకరణాలను వేరుగా ఉంచడానికి గుర్తుంచుకోండి.

3. 

   
   
   అవసరమైన విధంగా సరళీకృతం చేయండి. మీరు దాని చిన్న రూపానికి దిగడానికి మీకు లభించిన సమీకరణాన్ని పూర్తి చేయండి. ఈ సందర్భంలో, మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం (7) రెండింటిలోని సాధారణ కారకాన్ని రద్దు చేస్తారు.

4 యొక్క విధానం 2: ద్విపద హారంను హేతుబద్ధీకరించడం

1. భిన్నాన్ని పరిశీలించండి. మీ భిన్నం హారం లో రెండు పదాల మొత్తాన్ని కలిగి ఉంటే, వాటిలో కనీసం ఒకటి అహేతుకం, అప్పుడు మీరు దాని ద్వారా భిన్నాన్ని న్యూమరేటర్ మరియు హారం లో గుణించలేరు.
   • ఇది ఎందుకు జరిగిందో చూడటానికి, ఏకపక్ష భిన్నం ఎక్కడ మరియు అహేతుకంగా రాయండి. అప్పుడు వ్యక్తీకరణలో a క్రాస్ టర్మ్ కనీసం ఒకటి మరియు అహేతుకం అయితే, క్రాస్ టర్మ్ ఒక రాడికల్ కలిగి ఉంటుంది.
   • ఇది మా ఉదాహరణతో ఎలా పనిచేస్తుందో చూద్దాం.
   • మీరు చూడగలిగినట్లుగా, దీన్ని చేసిన తర్వాత మేము హారం నుండి బయటపడటానికి మార్గం లేదు.

2. 

   
   
   హారం యొక్క సంయోగం ద్వారా భిన్నాన్ని గుణించండి. వ్యక్తీకరణ యొక్క సంయోగం సంకేతంతో తిరగబడిన అదే వ్యక్తీకరణ. ఉదాహరణకు, యొక్క సంయోగం
   • సంయోగం ఎందుకు పనిచేస్తుంది? మా ఏకపక్ష భిన్నానికి తిరిగి వెళ్లడం, లెక్కింపు మరియు హారం యొక్క సంయోగం ద్వారా గుణించడం వల్ల హారం ఏర్పడుతుంది. ఇక్కడ కీలకం ఏమిటంటే క్రాస్ నిబంధనలు లేవు. ఈ రెండు నిబంధనలు స్క్వేర్ చేయబడినందున, ఏదైనా చదరపు మూలాలు తొలగించబడతాయి.

3. 

   అవసరమైన విధంగా సరళీకృతం చేయండి. న్యూమరేటర్ మరియు హారం లోని సాధారణ కారకాన్ని కనుగొనడం ద్వారా భిన్నాన్ని దాని సరళమైన రూపంలోకి తీసుకోండి. ఈ సందర్భంలో, 4 - 2 = 2, మీరు దిగువ సంఖ్యను రద్దు చేయడానికి ఉపయోగించవచ్చు.

4 యొక్క విధానం 3: పరస్పర చర్యలతో పనిచేయడం

1. 

   సమస్యను పరిశీలించండి. రాడికల్ కలిగి ఉన్న పదాల సమితి యొక్క పరస్పరం వ్రాయమని మిమ్మల్ని అడిగితే, సరళీకృతం చేయడానికి ముందు మీరు హేతుబద్ధీకరించాలి. సమస్యకు ఏది వర్తిస్తుందో దానిపై ఆధారపడి మోనోమియల్ లేదా ద్విపద హారం కోసం పద్ధతిని ఉపయోగించండి.

2. 

   సాధారణంగా కనిపించే విధంగా పరస్పరం రాయండి. మీరు భిన్నాన్ని విలోమం చేసినప్పుడు పరస్పరం సృష్టించబడుతుంది. మా వ్యక్తీకరణ నిజానికి ఒక భిన్నం. ఇది 1 ద్వారా విభజించబడింది.

3. 

   దిగువన ఉన్న రాడికల్‌ను వదిలించుకోగల ఏదో గుణించాలి. గుర్తుంచుకోండి, మీరు వాస్తవానికి 1 గుణించాలి, కాబట్టి మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ గుణించాలి. మా ఉదాహరణ ద్విపద, కాబట్టి కంజుగేట్ ద్వారా ఎగువ మరియు దిగువ గుణించాలి.

4. 

   అవసరమైన విధంగా సరళీకృతం చేయండి. సమీకరణాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా భిన్నాన్ని అతిచిన్న మరియు తక్కువ సంఖ్యల సంఖ్యకు తగ్గించండి. ఈ ఉదాహరణలో, 4 - 3 = 1, కాబట్టి మీరు భిన్నం యొక్క దిగువ భాగాన్ని అన్నింటినీ తొలగించవచ్చు.
   • పరస్పరం సంయోగం అని విసిరివేయవద్దు. ఇది కేవలం యాదృచ్చికం.

4 యొక్క 4 వ పద్ధతి: క్యూబ్ రూట్‌తో హారం హేతుబద్ధీకరణ

1. 

   భిన్నాన్ని పరిశీలించండి. క్యూబ్ మూలాలను అరుదుగా ఎదుర్కోవలసి వస్తుందని మీరు ఆశించవచ్చు. ఈ పద్ధతి ఏదైనా సూచిక యొక్క మూలాలకు కూడా సాధారణీకరిస్తుంది.

2. 

   ఎక్స్పోనెంట్ల పరంగా హారం తిరిగి వ్రాయండి. ఇక్కడ హారం హేతుబద్ధీకరించే వ్యక్తీకరణను కనుగొనడం కొంచెం భిన్నంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మనం రాడికల్ ద్వారా గుణించలేము.

3. 

   హారం 1 లోని ఘాతాంకం చేసేలా ఎగువ మరియు దిగువ గుణించాలి. మా విషయంలో, మేము ఒక క్యూబ్ రూట్‌తో వ్యవహరిస్తున్నాము, కాబట్టి గుణించాలి గుణకాలు గుణకారం సమస్యను గుణకారం సమస్యను ఆస్తి ద్వారా అదనపు సమస్యగా మారుస్తాయని గుర్తుంచుకోండి
   • ఇది హారం లోని n వ మూలాలకు సాధారణీకరించవచ్చు. మనము పైభాగాన్ని మరియు దిగువను గుణించినట్లయితే ఇది హారం 1 లోని ఘాతాంకం అవుతుంది.

4. 

   అవసరమైన విధంగా సరళీకృతం చేయండి.
   • మీరు దానిని రాడికల్ రూపంలో వ్రాయవలసి వస్తే, కారకం

సంఘం ప్రశ్నలు మరియు సమాధానాలు

నేను మూడు పదాలతో హేతుబద్ధీకరించడం ఎలా?

1 / (1 + root2 + root3) లాంటిదేనా? అలా అయితే, 1+ (రూట్ 2 + రూట్ 3) గా సమూహం చేసి, "చతురస్రాల వ్యత్యాసం" 1- (రూట్ 2 + రూట్ 3) ద్వారా గుణించాలి. ఇది హారం -4 - రూట్ 6 ను చేస్తుంది, ఇది ఇప్పటికీ అహేతుకం, కానీ రెండు అహేతుక పదాల నుండి ఒకటి మాత్రమే మెరుగుపడింది. కాబట్టి -4 + రూట్ 6 ద్వారా గుణించడం ద్వారా అదే ట్రిక్‌ను పునరావృతం చేయండి మరియు హారం హేతుబద్ధం అవుతుంది.

మీ చిత్రాలలో, పాయింట్ అర్థం ఏమిటి?

మీరు వివిధ భిన్నాల మధ్య ఉంచిన చుక్కల గురించి అడుగుతుంటే, అవి గుణకార చిహ్నాలు. ఉదాహరణకు, వ్యాసం యొక్క రెండవ చిత్రంలో మనం చూస్తాము (7√3) / (2√7), తరువాత చుక్క, తరువాత (√7 / √7). అంటే మనం మొదటి భిన్నాన్ని రెండవ భిన్నం (న్యూమరేటర్ టైమ్స్ న్యూమరేటర్, మరియు డినామినేటర్ టైమ్స్ డినామినేటర్) ద్వారా గుణించి, మనకు (7 /21) / 14 ఇస్తాము, ఇది √21 / 2 కు సులభతరం చేస్తుంది. (యాదృచ్ఛికంగా, వ్యాసం కొన్ని ఇతర చుక్కలను చూపిస్తుంది భిన్నాల మధ్య కాదు. అవి కేవలం "బుల్లెట్ పాయింట్లు" మాత్రమే)

వేరియబుల్ ఉన్న క్యూబ్ రూట్‌తో హారంను నేను ఎలా హేతుబద్ధం చేయగలను?

ఇది ద్విపద వ్యక్తీకరణ అయితే, పద్ధతి 2 లో చెప్పిన దశలను అనుసరించండి.

1 / (క్యూబ్ రూట్ 5- క్యూబ్ రూట్ 3) వంటి ప్రశ్నకు మీరు హారంలోని క్యూబ్ రూట్‌ను ఎలా హేతుబద్ధం చేస్తారు?

ఇది కొద్దిగా ఉపాయము, కానీ చేయవచ్చు. (క్యూబూట్ 25 + క్యూబూట్ 15 + క్యూబూట్ 9) ద్వారా గుణించాలి మరియు హారం 2 కి సరళీకృతం చేస్తుంది. ఈ ట్రిక్ క్వాడ్రాటిక్ కేసుతో సమానంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఇది 5-3 క్యూబ్స్ కారకాల వ్యత్యాసాన్ని ఉపయోగిస్తుంది, అయితే చతుర్భుజి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని ఉపయోగిస్తుంది చతురస్రాల కారకం.

• 
  
  త్రికోణిక హారంను నేను ఎలా హేతుబద్ధీకరించగలను? సమాధానం

చిట్కాలు