విషయము

• దశలు
• చిట్కాలు

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి మీరు ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్ యొక్క విలువను ఒకటి కంటే ఎక్కువ సమీకరణాలలో కనుగొనవలసి ఉంటుంది. మీరు జోడించడం, తీసివేయడం, గుణించడం లేదా ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించవచ్చు. మీరు సమీకరణాల వ్యవస్థను ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసుకోవాలంటే, ఈ దశలను అనుసరించండి.

దశలు

4 యొక్క పద్ధతి 1: వ్యవకలనం ద్వారా పరిష్కరించండి

1. 

   ఒక సమీకరణాన్ని మరొకటి పైన వ్రాయండి. రెండు ఖాతాలు ఒకే గుణకం మరియు ఒకే గుర్తుతో వేరియబుల్ కలిగి ఉన్నాయని మీరు చూసినప్పుడు వ్యవకలనం ద్వారా సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం అనువైనది. ఉదాహరణకు, రెండు సమీకరణాలు పాజిటివ్ వేరియబుల్ 2x కలిగి ఉంటే, మీరు రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి వ్యవకలనం పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు.
   • X మరియు y మరియు అన్ని సంఖ్యలను వేరియబుల్స్ సమలేఖనం చేయడం ద్వారా ఒక సమీకరణాన్ని మరొకటి పైన వ్రాయండి. సమీకరణాల యొక్క రెండవ వ్యవస్థ యొక్క పరిమాణం వెలుపల మైనస్ గుర్తును వ్రాయండి.
   • ఉదా: మీకు 2x + 4y = 8 మరియు 2x + 2y = 2 అనే రెండు సమీకరణాలు ఉంటే, మీరు రెండవ పరిమాణానికి వెలుపల మైనస్ గుర్తుతో రెండవ పైన మొదటి సమీకరణాన్ని వ్రాయాలి, మీరు ప్రతి నిబంధనలను తీసివేస్తారని చూపిస్తుంది సమీకరణం.
     • 2x + 4y = 8.
     • - (2x + 2y = 2).

2. 

   
   
   ఇలాంటి నిబంధనలను తీసివేయండి. ఇప్పుడు మీరు రెండు సమీకరణాలను సమలేఖనం చేసారు, మీరు చేయాల్సిందల్లా ఇలాంటి పదాలను తీసివేయడం. మీరు ఈ పదాన్ని పదం ద్వారా చేయవచ్చు:
   • 2x - 2x = 0.
   • 4y - 2y = 2y.
   • 8 - 2 = 6.
     • 2x + 4y = 8 - (2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6.

3. 

   మిగిలిన నిబంధనలను పరిష్కరించండి. మీరు ఒకే గుణకాలతో వేరియబుల్స్ను తీసివేసినప్పుడు 0 కి సమానమైన పదాన్ని పొందే వేరియబుల్స్‌లో ఒకదాన్ని తొలగించిన వెంటనే, మిగిలిన వేరియబుల్ కోసం మీరు ఒక సాధారణ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి. మీరు సమీకరణం నుండి సున్నాను తీసివేయవచ్చు, ఎందుకంటే ఇది విలువలో దేనినీ మార్చదు.
   • 2y = 6.
   • Y = 3 ను కనుగొనడానికి 2y మరియు 6 ను 2 ద్వారా విభజించండి.

4. 

   
   
   మొదటి పదం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి ఈ పదాన్ని తిరిగి సమీకరణాలలో ఒకటిగా మార్చండి. Y = 3 అని ఇప్పుడు మీకు తెలుసు, మీరు అసలు సమీకరణాలలో ఒకదానికి ప్రత్యామ్నాయంగా ఉండాలి మరియు x కోసం పరిష్కరించాలి. మీరు ఎంచుకున్నదాన్ని పట్టింపు లేదు ఎందుకంటే సమాధానం ఒకే విధంగా ఉంటుంది. సమీకరణాలలో ఒకటి మరొకదాని కంటే చాలా క్లిష్టంగా కనిపిస్తే, దాన్ని సులభమైన వాటితో భర్తీ చేయండి.
   • 2x + 2y = 2 సమీకరణంలో y = 3 ను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు x కోసం పరిష్కరించండి.
   • 2x + 2 (3) = 2.
   • 2x + 6 = 2.
   • 2x = -4.
   • x = - 2.
     • మీరు వ్యవకలనం ద్వారా సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించారు. (X, y) = (-2, 3)

5. 

   
   
   మీ సమాధానం తనిఖీ చేయండి. మీరు సమీకరణాల వ్యవస్థను సరిగ్గా పరిష్కరించారని నిర్ధారించుకోవడానికి, మీ రెండు సమాధానాలను రెండు సమీకరణాలలో ప్రత్యామ్నాయం చేసి అవి పని చేస్తున్నాయని నిర్ధారించుకోండి. ఈ విధంగా:
   • 2x + 4y = 8 సమీకరణంలో (x, y) స్థానంలో ప్రత్యామ్నాయం (-2, 3).
     • 2(-2) + 4(3) = 8.
     • -4 + 12 = 8.
     • 8 = 8.
   • 2x + 2y = 2 సమీకరణంలో (x, y) స్థానంలో ప్రత్యామ్నాయం (-2, 3).
     • 2(-2) + 2(3) = 2.
     • -4 + 6 = 2.
     • 2 = 2.

4 యొక్క పద్ధతి 2: చేరిక ద్వారా పరిష్కరించండి

1. 

   ఒక సమీకరణాన్ని మరొకటి పైన వ్రాయండి. రెండు సమీకరణాలు ఒకే గుణకంతో వేరియబుల్ కలిగి ఉన్నాయని మీరు చూసినప్పుడు అదనంగా సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం అనువైనది, కానీ వ్యతిరేక సంకేతాలతో. ఉదాహరణకు, ఒక సమీకరణం వేరియబుల్ 3x మరియు మరొకటి వేరియబుల్ -3x కలిగి ఉంటే, అప్పుడు అదనంగా పద్ధతి అనువైనది.
   • X మరియు y మరియు అన్ని సంఖ్యలను వేరియబుల్స్ సమలేఖనం చేయడం ద్వారా ఒక సమీకరణాన్ని మరొకటి పైన వ్రాయండి. రెండవ సమీకరణంలో పరిమాణం వెలుపల ప్లస్ గుర్తును వ్రాయండి.
   • ఉదా: మీకు 3x + 6y = 8 మరియు ex - 6y = 4 అనే రెండు సమీకరణాలు ఉంటే, అప్పుడు మీరు మొదటి సమీకరణాన్ని రెండవ పైన వ్రాయాలి, రెండవ సమీకరణం యొక్క పరిమాణానికి వెలుపల ప్లస్ గుర్తుతో, మీరు ప్రతిదాన్ని జోడిస్తారని చూపిస్తుంది సమీకరణం యొక్క నిబంధనలు.
     • 3x + 6y = 8.
     • + (x - 6y = 4).

2. 

   ఇలాంటి నిబంధనలను జోడించండి. ఇప్పుడు మీరు రెండు సమీకరణాలను సమలేఖనం చేసారు, మీరు చేయాల్సిందల్లా ఇలాంటి పదాలను జోడించడం. మీరు ఒక సమయంలో ఒకదాన్ని జోడించవచ్చు:
   • 3x + x = 4x.
   • 6y + -6y = 0.
   • 8 + 4 = 12.
   • మీరు అన్ని నిబంధనలను కలిపినప్పుడు, మీరు మీ క్రొత్త ఉత్పత్తిని కనుగొంటారు:
     • 3x + 6y = 8.
     • + (x - 6y = 4).
     • = 4x ​​+ 0 = 12.

3. 

   మిగిలిన నిబంధనలను పరిష్కరించండి. మీరు ఒకే గుణకాలతో వేరియబుల్స్ తీసివేసినప్పుడు 0 కి సమానమైన పదాన్ని పొందే వేరియబుల్స్‌లో ఒకదాన్ని తొలగించిన వెంటనే, మిగిలిన వేరియబుల్ కోసం మీరు ఒక సాధారణ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి. మీరు సమీకరణం నుండి సున్నాను తీసివేయవచ్చు, ఎందుకంటే ఇది విలువలో దేనినీ మార్చదు.
   • 4x + 0 = 12.
   • 4x = 12.
   • X = 3 ను కనుగొనడానికి 4x మరియు 12 ను 3 ద్వారా విభజించండి.

4. 

   మొదటి పదం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి ఈ పదాన్ని తిరిగి సమీకరణంలోకి మార్చండి. X = 3 అని ఇప్పుడు మీకు తెలుసు, మీరు దీన్ని y కోసం పరిష్కరించడానికి అసలు సమీకరణాలలో ఒకదానిలో ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి. మీరు ఎంచుకున్నదాన్ని పట్టింపు లేదు ఎందుకంటే సమాధానం ఒకే విధంగా ఉంటుంది. సమీకరణాలలో ఒకటి మరొకదాని కంటే చాలా క్లిష్టంగా కనిపిస్తే, దాన్ని సులభమైన వాటితో భర్తీ చేయండి.
   • Y కోసం పరిష్కరించడానికి x - 6y = 4 సమీకరణంలో x = 3 ను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి.
   • 3 - 6y = 4.
   • -6y = 1.
   • Y = -1/6 ను కనుగొనడానికి -6y మరియు 1 ద్వారా -6 ను విభజించండి.
     • మీరు సమీకరణాల వ్యవస్థను అదనంగా పరిష్కరించారు. (x, y) = (3, -1/6).

5. 

   మీ సమాధానం తనిఖీ చేయండి. మీరు సమీకరణాల వ్యవస్థను సరిగ్గా పరిష్కరించారని నిర్ధారించుకోవడానికి, మీ రెండు సమాధానాలను రెండు సమీకరణాలలో ప్రత్యామ్నాయం చేసి అవి పని చేస్తున్నాయని నిర్ధారించుకోండి. ఈ విధంగా:
   • 3x + 6y = 8 సమీకరణంలో (x, y) స్థానంలో ప్రత్యామ్నాయం (3, -1/6).
     • 3(3) + 6(-1/6) = 8.
     • 9 - 1 = 8.
     • 8 = 8.
   • X - 6y = 4 సమీకరణంలో (x, y) స్థానంలో ప్రత్యామ్నాయం (3, -1/6).
     • 3 - (6 * -1/6) =4.
     • 3 - - 1 = 4.
     • 3 + 1 = 4.
     • 4 = 4.

4 యొక్క పద్ధతి 3: గుణకారం ద్వారా పరిష్కరించండి

1. 

   ఒకదానికొకటి పైన సమీకరణాలను వ్రాయండి. X మరియు y మరియు అన్ని సంఖ్యలను వేరియబుల్స్ సమలేఖనం చేయడం ద్వారా ఒక సమీకరణాన్ని మరొకటి పైన వ్రాయండి. మీరు గుణకారం పద్ధతిని ఉపయోగించినప్పుడు, వేరియబుల్స్‌లో ఏవీ సరిపోలే గుణకాలు ఉండవు - ప్రస్తుతానికి.
   • 3x + 2y = 10.
   • 2x - y = 2.

2. 

   రెండు నిబంధనలలోని వేరియబుల్స్‌లో ఒకటి సమాన గుణకాలు వచ్చేవరకు ఒకటి లేదా రెండు సమీకరణాలను గుణించండి. ఇప్పుడు, ఒకటి లేదా రెండు సమీకరణాలను ఒక సంఖ్యతో గుణించండి, అది వేరియబుల్స్ ఒకటి ఒకే గుణకాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మీరు రెండవ సమీకరణాన్ని 2 ద్వారా గుణించవచ్చు, తద్వారా వేరియబుల్ -y -2y అవుతుంది మరియు మొదటి గుణకం y కి సమానం. దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • 2 (2x - y = 2).
   • 4x - 2y = 4.

3. 

   సమీకరణాలను జోడించండి లేదా తీసివేయండి. ఇప్పుడు, రెండు సమీకరణాలలో అదనంగా లేదా వ్యవకలనం పద్ధతిని ఉపయోగించండి, ఏ పద్ధతి ఆధారంగా ఒకే గుణకంతో వేరియబుల్‌ను తొలగిస్తుంది. మీరు 2y మరియు -2y తో పనిచేస్తున్నందున, మీరు తప్పనిసరిగా అదనంగా పద్ధతిని ఉపయోగించాలి ఎందుకంటే 2y + -2y 0 కి సమానం. మీరు 2y మరియు + 2y తో పనిచేస్తుంటే, మీరు వ్యవకలనం పద్ధతిని ఉపయోగిస్తారు. వేరియబుల్స్‌లో ఒకదాన్ని తొలగించడానికి అదనంగా పద్ధతిని ఎలా ఉపయోగించాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • 3x + 2y = 10.
   • + 4x - 2y = 4.
   • 7x + 0 = 14.
   • 7x = 14.

4. 

   మిగిలిన పదం కోసం పరిష్కరించండి. మీరు తొలగించని పదం విలువను కనుగొనడానికి పరిష్కరించండి. 7x = 14 అయితే, x = 2.

5. 

   మొదటి పదం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి ఈ పదాన్ని సమీకరణంలో తిరిగి మార్చండి. మరొక పదం కోసం పరిష్కరించడానికి అసలు సమీకరణాలలో ఒకదానికి తిరిగి మార్చండి. వేగంగా చేయడానికి సులభమైన సమీకరణాన్ని తీసుకోండి.
   • x = 2 -> 2x - y = 2.
   • 4 - y = 2.
   • -y = -2.
   • y = 2.
   • మీరు గుణకారం ద్వారా సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించారు. (x, y) = (2, 2)

6. 

   మీ సమాధానం తనిఖీ చేయండి. మీ జవాబును ధృవీకరించడానికి, అసలు సమీకరణాలలో మీరు కనుగొన్న రెండు విలువలను భర్తీ చేయండి మరియు మీకు సరైన విలువలు వచ్చాయని చూడండి.
   • 3x + 2y = 10 సమీకరణంలో (x, y) స్థానంలో (2, 2) ప్రత్యామ్నాయం.
   • 3(2) + 2(2) = 10.
   • 6 + 4 = 10.
   • 10 = 10.
   • 2x - y = 2 సమీకరణంలో (x, y) స్థానంలో (2, 2) భర్తీ చేయండి.
   • 2(2) - 2 = 2.
   • 4 - 2 = 2.
   • 2 = 2.

4 యొక్క 4 వ పద్ధతి: ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా పరిష్కరించండి

1. 

   వేరియబుల్‌ను వేరుచేయండి. ఒక సమీకరణంలోని గుణకాలలో ఒకటి ఒకదానికి సమానంగా ఉన్నప్పుడు ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి అనువైనది. కాబట్టి, మీరు చేయాల్సిందల్లా దాని విలువను కనుగొనడానికి సమీకరణం యొక్క ఒక వైపున ఉన్న సాధారణ గుణకం వేరియబుల్‌ను వేరుచేయడం.
   • మీరు 2x + 3y = 9 మరియు x + 4y = 2 సమీకరణాలతో పనిచేస్తుంటే, మీరు రెండవ సమీకరణంలో x ను వేరుచేయవచ్చు.
   • x + 4y = 2.
   • x = 2 - 4y.

2. 

   మీరు వేరుచేయబడిన వేరియబుల్ యొక్క విలువను ఇతర సమీకరణంలోకి మార్చండి. మీరు వేరియబుల్‌ను వేరుచేసినప్పుడు దొరికిన విలువను తీసుకోండి మరియు మీరు తారుమారు చేయని సమీకరణంలో వేరియబుల్ స్థానంలో దాన్ని భర్తీ చేయండి. మీరు తారుమారు చేస్తున్న సమీకరణంలో విలువను తిరిగి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే మీరు దేనినీ పరిష్కరించలేరు. దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • x = 2 - 4y -> 2x + 3y = 9.
   • 2 (2 - 4y) + 3y = 9.
   • 4 - 8y + 3y = 9.
   • 4 - 5y = 9.
   • -5y = 9 - 4.
   • -5y = 5.
   • -y = 1.
   • y = - 1.

3. 

   మిగిలిన వేరియబుల్స్ కోసం పరిష్కరించండి. Y = - 1 అని మీకు ఇప్పుడు తెలుసు, x విలువను కనుగొనడానికి ఈ విలువను సరళమైన సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. ఈ విధంగా:
   • y = -1 -> x = 2 - 4y.
   • x = 2 - 4 (-1).
   • x = 2 - -4.
   • x = 2 + 4.
   • x = 6.
   • మీరు ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించారు. (x, y) = (6, -1).

4. 

   మీ పనిని తనిఖీ చేయండి. మీరు సమీకరణాల వ్యవస్థను సరిగ్గా పరిష్కరించారని నిర్ధారించుకోవడానికి, ఫలితం సరిగ్గా ఉందో లేదో చూడటానికి మీరు రెండు సమీకరణాలలో కనిపించే విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయవచ్చు:
   • 2x + 3y = 9 సమీకరణంలో (x, y) స్థానంలో ప్రత్యామ్నాయం (6, -1).
     • 2(6) + 3(-1) = 9.
     • 12 - 3 = 9.
     • 9 = 9.
   • X + 4y = 2 సమీకరణంలో (x, y) స్థానంలో ప్రత్యామ్నాయం (6, -1).
   • 6 + 4(-1) = 2.
   • 6 - 4 = 2.
   • 2 = 2.

చిట్కాలు

• అదనంగా, వ్యవకలనం, గుణకారం లేదా ప్రత్యామ్నాయం యొక్క పద్ధతులను ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల యొక్క ఏదైనా వ్యవస్థలను మీరు పరిష్కరించగలగాలి, అయితే సమీకరణాలను బట్టి ఒక పద్ధతి సాధారణంగా సులభం.