విషయము

• స్టెప్స్

ఒక క్యూబిక్ సమీకరణంలో, గొప్ప శక్తి ఏమిటంటే, ఆపరేషన్కు పరిష్కారాలు లేదా మూలాలు ఉన్నాయి మరియు సూత్రం కూడా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ఇది భయపెట్టేదిగా అనిపించినప్పటికీ మరియు దాని తీర్మానంలో గణనీయమైన సవాళ్లను తెచ్చిపెట్టినప్పటికీ, వాటిలో చాలా క్లిష్టమైనది కూడా మచ్చిక చేసుకోవడానికి తగిన విధానాన్ని (మరియు మంచి ప్రాథమిక జ్ఞానం) ఉపయోగించండి. మీరు ఇతర ఎంపికలతో పాటు, వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడానికి, మొత్తం పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి లేదా వివక్షతలను గుర్తించడానికి ప్రయత్నించవచ్చు.

స్టెప్స్

3 యొక్క పద్ధతి 1: స్థిరమైన లేకుండా క్యూబిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

1. 

   క్యూబిక్ సమీకరణంలో స్థిరమైన (విలువ) ఉంటే గమనించండి. ఈ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాలు రూపంలో ప్రదర్శించబడతాయి. ఏది ఏమయినప్పటికీ, సమీకరణాన్ని క్యూబిక్‌గా పరిగణించటానికి ఇతర అంశాలు ఉండవలసిన అవసరం లేదని సూచిస్తుంది.
   • ఇది స్థిరమైన (విలువ) కలిగి ఉంటే, తీర్మానం యొక్క మరొక పద్ధతిని ఉపయోగించడం అవసరం.
   • ఉంటే, మీకు చేతిలో క్యూబిక్ సమీకరణం లేదు.

2. 

   
   
   సమీకరణం నుండి కారకం. దీనికి స్థిరాంకం లేనందున, సమీకరణంలోని ప్రతి పదానికి కూడా వేరియబుల్ ఉంటుంది. సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేస్తూ, ఒకదాన్ని కారకంగా మరియు క్రమంలో ఉంచవచ్చని ఇది సూచిస్తుంది. దీన్ని చేసి ఫార్మాట్‌లో తిరిగి రాయండి.
   • ఉదాహరణకు, మీ ప్రారంభ క్యూబిక్ సమీకరణం అనుకుందాం
   • సమీకరణంలో కారకం చేయడం ద్వారా, మీరు పొందుతారు

3. 

   
   
   వీలైతే, ఫలిత చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని కారకం చేయండి. అనేక సందర్భాల్లో, మునుపటి దశ ఫలితంగా వచ్చిన చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని () కూడా మీరు గుర్తించవచ్చు. మీరు పని చేస్తుంటే, ఉదాహరణకు, మీరు వీటిని చేయవచ్చు:
   • దాన్ని కారకం చేసి బయట పెట్టండి:
   • కుండలీకరణాల్లో వర్గ సమీకరణాన్ని కారకం చేయండి:
   • ప్రతి కారకాలతో సరిపోలండి, పరిష్కారాలను పొందడం మరియు.

4. 

   
   
   మీరు సాంప్రదాయిక కారకాలీకరణతో కొనసాగలేకపోతే, కుండలీకరణాల్లోని భాగాన్ని చతురస్రాకార సూత్రంతో పరిష్కరించండి. చతురస్రాకార సమీకరణం వేరియబుల్స్ ఇన్సర్ట్ చేయడానికి సమానమైన విలువలను కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది, మరియు ఫార్ములాలో. క్యూబిక్ సమీకరణానికి రెండు సమాధానాలను కనుగొనడానికి ఈ దశ ద్వారా వెళ్ళండి.
   • ఉదాహరణలో, వర్గ సమీకరణంలో విలువలను మరియు (లేదా, మరియు, వరుసగా) నమోదు చేయండి:
     
   • సమాధానం 1:
     
   • సమాధానం 2:
     

5. 

   క్యూబిక్ సమీకరణంలో వర్గ పరిష్కారాలను మరియు సంఖ్య సున్నాను ఉపయోగించండి. చతురస్రాకార సమీకరణాలకు రెండు పరిష్కారాలు మాత్రమే ఉన్నప్పటికీ, క్యూబిక్ సమీకరణాలు మూడు ఉన్నాయి - వాటిలో రెండు మీకు ఇప్పటికే తెలుసు, అవి కుండలీకరణాల్లోని సమస్య యొక్క "చతురస్రాకార" భాగంలో ఉన్నాయి. ఈ "ఫ్యాక్టర్డ్" రిజల్యూషన్ పద్ధతిలో సమీకరణం పని చేయగల సందర్భాల్లో, మూడవ సమాధానం ఎల్లప్పుడూ సమానంగా ఉంటుంది.
   • మీ సమీకరణాన్ని ఫార్మాట్‌లోకి తీసుకురావడం రెండు కారకాలుగా విభజిస్తుంది: ఒకటి ఎడమ వైపున వేరియబుల్ మరియు మరొకటి కుండలీకరణాల్లోని చతురస్రాకార భాగం. ఏదైనా సమానంగా ఉంటే, మొత్తం సమీకరణం కూడా సమానంగా ఉంటుంది.
   • అందువల్ల, కుండలీకరణాల్లోని చతురస్రాకార భాగంలోని రెండు సమాధానాలు (దీని కారకాలు సమానంగా ఉంటాయి) కూడా క్యూబిక్ సమీకరణానికి సమాధానాలు - ఎందుకంటే ఇది ఎడమ కారకాన్ని ఈ విలువకు సమానంగా చేస్తుంది.

3 యొక్క విధానం 2: కారకాల జాబితాతో మొత్తం పరిష్కారాలను నిర్ణయించడం

1. 

   క్యూబిక్ సమీకరణానికి స్థిరాంకం ఉంటే గమనించండి. () నుండి భిన్నంగా ఉండటం విలువతో ఫార్మాట్‌లో వ్రాస్తే, వర్గ సమీకరణాన్ని కారకం చేయడం పనిచేయదు. కానీ చింతించకండి! ఇక్కడ వివరించిన విధంగా ఇతర ఎంపికలు ఉన్నాయి.
   • ఉదాహరణకు సమీకరణాన్ని తీసుకోండి. ఈ సందర్భంలో, సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున ఒకదాన్ని కలిగి ఉండటానికి, మీరు రెండింటినీ జోడించాలి.
   • కొత్త సమీకరణం ఉంటుంది. వలె, వర్గ సమీకరణ పద్ధతిని ఉపయోగించడం సాధ్యం కాదు.

2. 

   యొక్క కారకాలను నిర్ణయించండి. (లేదా) యొక్క గుణకం మరియు తుది స్థిరాంకం (లేదా) యొక్క కారకాలు ఏమిటో నిర్ణయించడం ద్వారా క్యూబిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ప్రారంభించండి. గుర్తుంచుకోండి: కారకాలు కొత్త సంఖ్యను పొందటానికి గుణించగల సంఖ్యలు.
   • ఉదాహరణకు, మీరు గుణకారాల నుండి పొందగలిగితే, దీని అర్థం ,, మరియు అన్ని కారణాలు.
   • ఉదాహరణ సమస్యలో, ఉదా. ఇక్కడ, యొక్క కారకాలు మరియు కారకాలు ,, మరియు.

3. 

   కారకాల ద్వారా కారకాలను విభజించండి. ప్రతి కారకాన్ని ప్రతి కారకం ద్వారా విభజించడం ద్వారా పొందిన విలువలను కలిగి ఉన్న జాబితాను రూపొందించండి. ఫలితంగా, మీరు సాధారణంగా చాలా భిన్నాలు మరియు కొన్ని మొత్తం సంఖ్యలను పొందుతారు. క్యూబిక్ సమీకరణం యొక్క మొత్తం పరిష్కారాలు ఆ జాబితాలోని మొత్తం సంఖ్యలు లేదా వాటి ప్రతికూల ప్రతిరూపాలు.
   • ఉదాహరణ సమీకరణంలో, (, మరియు) కారకాలపై (ఇ) కారకాలను ఉంచడం ద్వారా ఈ క్రింది వాటిని పొందవచ్చు: ,,, మరియు. అప్పుడు, ప్రతి ప్రతికూల విలువను జాబితా పూర్తి చేయడానికి జోడించబడుతుంది: ,,,,,,, మరియు. క్యూబిక్ సమీకరణం యొక్క మొత్తం పరిష్కారాలు ఆ అవకాశాలలో ఉంటాయి.

4. 

   సరళమైన (మరియు ఎక్కువ సమయం తీసుకునే) విధానం కోసం, సమగ్ర విలువలను మానవీయంగా నమోదు చేయండి. మీ సంఖ్యల జాబితాను పొందిన తరువాత, ప్రతిదాన్ని మానవీయంగా పరీక్షించడం ద్వారా మరియు క్యూబిక్ సమీకరణం యొక్క మొత్తం పరిష్కారాలను మీరు కనుగొనవచ్చు. చొప్పించేటప్పుడు, ఉదాహరణకు, మీరు పొందుతారు:
   • లేదా, అది స్పష్టంగా ఫలితం ఇవ్వదు. మీరు ఈ విధమైన నిర్ణయానికి వచ్చినప్పుడు, మీ జాబితాలోని తదుపరి విలువకు వెళ్లండి.
   • ఉపయోగించడం, మీరు పొందుతారు, దాని ఫలితంగా. దీని అర్థం మీరు వెతుకుతున్న సమగ్ర పరిష్కారాలలో ఇది ఒకటి.

5. 

   మీరు మరింత క్లిష్టమైన, కానీ వేగవంతమైన విధానాన్ని కోరుకుంటే సింథటిక్ విభాగంతో పని చేయండి. విలువలను ఒక్కొక్కటిగా నమోదు చేయడానికి మీరు సమయం గడపకూడదనుకుంటే, అని పిలువబడే సాంకేతికతతో కూడిన వేగవంతమైన పద్ధతిని ప్రయత్నించండి సింథటిక్ డివిజన్. సాధారణంగా, మీరు సమగ్ర విలువలను అసలు గుణకాల ద్వారా కృత్రిమంగా విభజిస్తారు, మరియు మీ క్యూబిక్ సమీకరణం. మిగిలినవి సమానంగా ఉంటే, ఉపయోగించిన విలువ మీ క్యూబిక్ సమీకరణానికి సమాధానాలలో ఒకటి అని అర్థం చేసుకోండి.
   • ఈ వ్యాసం యొక్క పరిధికి మించిన క్లిష్టమైన అంశం ఇది. ఏదేమైనా, సింథటిక్ డివిజన్ ద్వారా క్యూబిక్ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాలలో ఒకదానికి ఎలా చేరుకోవాలో ఇక్కడ ఒక నమూనా ఉంది:
     
   • చివరి మిగిలినది సమానంగా ఉన్నందున, క్యూబిక్ సమీకరణానికి మొత్తం పరిష్కారాలలో ఒకటి ఉంటుందని మీకు తెలుసు.

3 యొక్క విధానం 3: వివక్షత లేని విధానాన్ని ఉపయోగించడం

1. 

   యొక్క విలువలను వ్రాయండి ,, మరియు. ఈ పద్ధతిలో, మీరు మీ సమీకరణంలోని పదాల గుణకాలతో వ్యవహరించాల్సి ఉంటుంది. యొక్క విలువలను వ్రాసి, మరియు మీరు ప్రారంభించడానికి ముందు మీరు ప్రతిదాన్ని మరచిపోరు.
   • ఉదాహరణ సమీకరణం ఆధారంగా, వ్రాసి ,, మరియు దాని గుణకం సమానంగా ఉంటుందని పరోక్షంగా ume హించుకోండి.

2. 

   తగిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సున్నా వివక్షతను లెక్కించండి. చతురస్రాకార సమీకరణంలోని ఈ విధానం కొన్ని సంక్లిష్టమైన గణనలను ఉపయోగించుకుంటుంది, కానీ మీరు ఈ ప్రక్రియను జాగ్రత్తగా పాటిస్తే అది కరగని కేసులకు విలువైన పద్ధతి అని మీరు గమనించవచ్చు. ప్రారంభించడానికి, భవిష్యత్తులో అవసరమయ్యే అనేక ముఖ్యమైన విలువలలో మొదటిదాన్ని కనుగొనండి (వివక్షత), సమీకరణంలో సంబంధిత విలువలను చొప్పించండి.
   • వివక్షత అనేది బహుపది యొక్క మూలాల గురించి సమాచారం ఇచ్చే సంఖ్య మాత్రమే (మీకు ఇప్పటికే చతురస్రాకార వివక్షత తెలుసు).
   • ఉదాహరణ సమస్యలో, ఈ క్రింది వాటిని చేయండి:
     

3. 

   లెక్కించడం ద్వారా కొనసాగండి. తదుపరి అవసరమైన పరిమాణం, (వివక్షత), కొంచెం ఎక్కువ ప్రయత్నం అవసరం, కానీ అదే విధంగా లెక్కించబడుతుంది. యొక్క విలువను పొందడానికి సంబంధిత విలువలను సమీకరణంలో చొప్పించండి.
   • ఉదాహరణలో, ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగండి:
     

4. 

   లెక్కించు: . అప్పుడు, వివక్షత e యొక్క విలువల నుండి లెక్కించబడుతుంది. క్యూబ్ రూట్ విషయంలో, వివక్షత సానుకూలంగా ఉంటే, సమీకరణానికి మూడు నిజమైన పరిష్కారాలు ఉంటాయి. ఇది సమానంగా ఉంటే, ఒకటి లేదా రెండు నిజమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయని ఇది సూచిస్తుంది, వాటిలో కొన్ని భాగస్వామ్యం చేయబడ్డాయి. ప్రతికూల విలువ విషయంలో, సమీకరణానికి ఒకే పరిష్కారం ఉంటుంది.
   • ఒక క్యూబిక్ సమీకరణం ఎల్లప్పుడూ కనీసం ఒక నిజమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే గ్రాఫ్ ఎల్లప్పుడూ అక్షాన్ని ఒకసారి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ దాటుతుంది.
   • ఉదాహరణలో, ఎలా మరియు, పాస్ విలువను నిర్ణయించడం చాలా సులభం. ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగండి:
     
     ఈ విధంగా, సమీకరణానికి ఒకటి లేదా రెండు సమాధానాలు ఉన్నాయి.

5. 

   లెక్కించు: . చివరిగా అవసరమైన విలువ ఉంటుంది, మరియు ఆ ముఖ్యమైన మొత్తం మీరు ఇప్పటికే ఉన్న మూడు మూలాలను కనుగొనటానికి అనుమతిస్తుంది. మామూలుగా, భర్తీ చేసి, అవసరమైన విధంగా కొనసాగండి.
   • ఉదాహరణలో, గణన ఈ క్రింది విధంగా జరుగుతుంది:
     

6. 

   దొరికిన వేరియబుల్స్‌తో మూడు మూలాలను లెక్కించండి. మీ క్యూబిక్ సమీకరణానికి సమాధానాలు ఫార్ములా ద్వారా ఇవ్వబడతాయి, ఇక్కడ ఇ సమానం, లేదా. అప్పుడు అవసరమైన విధంగా విలువలను నమోదు చేయండి మరియు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి - ఈ దశలో చాలా గణిత ప్రయత్నం జరుగుతుంది, కానీ మీరు మూడు ఆచరణీయ సమాధానాలతో వస్తారు!
   • ఉదాహరణ సమానంగా ఉన్నప్పుడు గమనించడం ద్వారా పరిష్కరించడం సాధ్యమవుతుంది, మరియు. ఈ పరీక్షల నుండి పొందిన సమాధానాలు క్యూబిక్ సమీకరణానికి సాధ్యమయ్యే పరిష్కారాలు - మరియు దానిలో ఫలితాలను చొప్పించినప్పుడు సరైనది.
   • ఉదాహరణకు, జవాబులో ఎమ్ ఫలితాలను ఎలా ఉంచాలో, ఇది మీ క్యూబిక్ సమీకరణానికి పరిష్కారాలలో ఒకటి అవుతుంది.