విషయము

• స్టెప్స్
• చిట్కాలు
• హెచ్చరికలు

బీజగణిత వ్యక్తీకరణలను ఎలా సరళీకృతం చేయాలో నేర్చుకోవడం ప్రాథమిక బీజగణితాన్ని మాస్టరింగ్ చేయడానికి అవసరమైన అవసరం, అలాగే అన్ని గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ఎంతో విలువైన సాధనం.సరళీకరణ ఒక గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు సంక్లిష్టమైన, పొడవైన లేదా అనుచితమైన వ్యక్తీకరణలను సరళమైన లేదా మరింత అనుకూలమైన రూపాల్లో చేయడానికి అనుమతిస్తుంది, అదే సమయంలో సమానంగా ఉంటుంది. ప్రాథమిక సరళీకరణ యొక్క నైపుణ్యం నేర్చుకోవడం చాలా సులభం - గణితానికి విముఖత ఉన్నవారికి కూడా. కొన్ని సరళమైన దశలను అనుసరించడం ద్వారా, ఏ విధమైన గణిత పరిజ్ఞానం లేకుండా చాలా సాధారణమైన బీజగణిత వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడం సాధ్యపడుతుంది. ప్రారంభించడానికి దశ 1 చదవండి!

స్టెప్స్

ముఖ్యమైన భావనలను అర్థం చేసుకోవడం

1. 

   వేరియబుల్స్ మరియు పవర్స్ ద్వారా “సంబంధిత నిబంధనలు” నిర్వచించండి. బీజగణితంలో, "సంఖ్యల వలె" వేరియబుల్స్ యొక్క ఒకే ఆకృతీకరణను కలిగి ఉంటాయి, అదే శక్తులకు పెంచబడతాయి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, రెండు పదాలు “సంబంధిత” గా ఉండటానికి, అవి ఒకే వేరియబుల్స్ కలిగి ఉండాలి, లేదా ఏదీ ఉండకూడదు మరియు ప్రతి ఒక్కటి ఒకే శక్తికి పెంచబడాలి, లేదా ఏదీ లేదు. పదం లోపల వేరియబుల్స్ యొక్క క్రమం పట్టింపు లేదు.
   • ఉదాహరణకు, 3x మరియు 4x సంబంధిత పదాలు ఎందుకంటే ప్రతి ఒక్కటి రెండవ శక్తికి పెంచబడిన వేరియబుల్ x ను కలిగి ఉంటుంది. ఏదేమైనా, x మరియు x సంబంధిత పదాలు కావు, ఎందుకంటే ప్రతి ఒక్కటి వేరే శక్తికి పెంచబడతాయి. అదేవిధంగా, -3yx మరియు 5xz సంబంధిత పదాలు కావు ఎందుకంటే ప్రతి ఒక్కటి వేర్వేరు వేరియబుల్స్ కలిగి ఉంటాయి.

2. 

   
   
   ఫాక్టర్ రెండు కారకాల ఉత్పత్తిగా సంఖ్యలను వ్రాసేటప్పుడు. కారకాన్ని రెండు కారకాల ఉత్పత్తిగా ఇచ్చిన సంఖ్యను సూచించే భావన కారకం. సంఖ్యలు ఒకటి కంటే ఎక్కువ కారకాలను కలిగి ఉంటాయి - ఉదాహరణకు, 12 సంఖ్యను 1 × 12, 2 × 6 మరియు 3 × 4 ద్వారా ఏర్పరచవచ్చు, తద్వారా 1, 2, 3, 4, 6 మరియు 12 అని ప్రకటించడం సాధ్యమవుతుంది. అవన్నీ 12 యొక్క కారకాలు. సంఖ్య యొక్క కారకాలు సమానంగా విభజించబడే సంఖ్యలు అని భావించడం మరొక ఆలోచనా మార్గం.
   • ఉదాహరణకు, మేము 20 కారకాన్ని కోరుకుంటే, మేము దానిని ఇలా వ్రాయవచ్చు 4×5.
   • వేరియబుల్ నిబంధనలు కూడా కారకంగా ఉండవచ్చని గమనించండి. -20x, ఉదాహరణకు, ఇలా వ్రాయవచ్చు 4 (-5x).
   • ప్రధాన సంఖ్యలను కారకం చేయలేము ఎందుకంటే అవి తమ ద్వారా మరియు 1 ద్వారా మాత్రమే విభజించబడతాయి.

3. 

   
   
   కార్యకలాపాల క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోవడానికి PEMDAS అనే ఎక్రోనిం ఉపయోగించండి. అప్పుడప్పుడు, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడం అంటే, అది సాధ్యం కానంతవరకు ఆ వ్యక్తీకరణపై ఆపరేషన్ చేయడం కంటే మరేమీ లేదు. అటువంటి సందర్భాలలో, ఎటువంటి అంకగణిత లోపాలు జరగకుండా ఆపరేషన్ల క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోవడం చాలా ముఖ్యం. కార్యకలాపాల క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం వచ్చినప్పుడు PEMDAS అనే ఎక్రోనిం చాలా సహాయపడుతుంది - అక్షరాలు క్రమంలో నిర్వహించాల్సిన ఆపరేషన్ల రకానికి అనుగుణంగా ఉంటాయి:
   • పిartheses.
   • ANDఆనవాళ్లుగా.
   • Multiplication.
   • Division.
   • దిdition.
   • లుubtration.

3 యొక్క పద్ధతి 1: సంబంధిత నిబంధనలను కలపడం

1. 

   
   
   మీ సమీకరణాన్ని వ్రాయండి. సరళమైన బీజగణిత సమీకరణాలు, పూర్ణాంక గుణకాలతో మరియు భిన్నాలు, రాడికల్స్ మొదలైనవి లేకుండా కొన్ని వేరియబుల్ పదాలను మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి, వీటిని కొన్ని దశల్లోనే పరిష్కరించవచ్చు. చాలా గణిత సమస్యల మాదిరిగానే, సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి మొదటి దశ దానిని వ్రాయడం!
   • ఉదాహరణ సమస్యగా, తదుపరి దశల కోసం, మేము వ్యక్తీకరణను పరిశీలిస్తాము 1 + 2x-3 + 4x.

2. 

   సంబంధిత నిబంధనలను గుర్తించండి. తరువాత, ఇలాంటి పదాల కోసం మీ సమీకరణాన్ని శోధించండి. సంబంధిత పదాలు ఒకే వేరియబుల్స్ మరియు ఒకే ఎక్స్పోనెంట్లను కలిగి ఉన్నాయని గుర్తుంచుకోండి.
   • ఉదాహరణకు, 1 + 2x-3 + 4x సమీకరణంలో సంబంధిత పదాలను గుర్తించండి. 2x మరియు 4x రెండూ ఒకే వేరియబుల్‌ను ఒకే ఎక్స్‌పోనెంట్‌కు పెంచాయి (ఈ సందర్భంలో, x ఏ శక్తికి పెంచబడదు). అదనంగా, 1 మరియు -3 సంబంధిత పదాలు, ఎందుకంటే ఏదీ వేరియబుల్స్ లేదు. కాబట్టి, మా సమీకరణంలో, 2x మరియు 4x మరియు 1 మరియు -3 సంబంధిత నిబంధనలు.

3. 

   సంబంధిత నిబంధనలను కలపండి. ఇప్పుడు మీరు సంబంధిత పదాలను గుర్తించారు, సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి మీరు వాటిని మిళితం చేయవచ్చు. ఏక పదానికి సమానమైన వేరియబుల్స్ మరియు ఎక్స్‌పోనెంట్లతో ప్రతి నిబంధనలను తగ్గించడానికి నిబంధనలను జోడించండి (లేదా ప్రతికూల పదాల విషయంలో వాటిని తీసివేయండి).
   • సంబంధిత ఉదాహరణలను మా ఉదాహరణలో చేర్చుదాం:
     • 2x + 4x = 6x.
     • 1+(-3) = -2.

4. 

   మీ సరళీకృత పదాల నుండి సరళీకృత వ్యక్తీకరణను సృష్టించండి. మీ సంబంధిత నిబంధనలను కలిపిన తరువాత, మీ క్రొత్త, సరళీకృత నిబంధనల నుండి వ్యక్తీకరణను రూపొందించండి. అసలు వ్యక్తీకరణలోని ప్రతి వేర్వేరు వేరియబుల్స్ మరియు ఎక్స్‌పోనెంట్లకు ఒక పదంతో మీరు సరళమైన వ్యక్తీకరణను పొందాలి. ఈ క్రొత్త వ్యక్తీకరణ మొదటిదానికి సమానం.
   • మా ఉదాహరణలో, సరళీకృత పదాలు 6x మరియు -2, కాబట్టి క్రొత్త వ్యక్తీకరణ ఉంటుంది 6x -2. ఈ సరళీకృత వ్యక్తీకరణ అసలు (1 + 2x-3 + 4x) మాదిరిగానే ఉంటుంది, కానీ చిన్నది మరియు పరిష్కరించడానికి సులభం. ఇది కారకానికి కూడా సరళమైనది, ఇది మనం క్రింద చూడబోతున్నట్లుగా, మరొక ముఖ్యమైన సరళీకరణ నైపుణ్యం.

5. 

   సంబంధిత నిబంధనలను కలిపేటప్పుడు కార్యకలాపాల క్రమాన్ని పాటించండి. మునుపటి ఉదాహరణలో ఉన్నట్లుగా చాలా సరళమైన వ్యక్తీకరణలలో, నిబంధనలను గుర్తించడం చాలా సులభం. ఏదేమైనా, కుండలీకరణాలు, భిన్నాలు మరియు రాడికల్స్‌లోని పదాలను కలిగి ఉన్న మరింత సంక్లిష్టమైన వ్యక్తీకరణలలో, కలపగల సంబంధిత పదాలు వెంటనే స్పష్టంగా కనిపించకపోవచ్చు. అటువంటి సందర్భాల్లో, కార్యకలాపాల క్రమాన్ని అనుసరించండి, వ్యక్తీకరణలోని నిబంధనలలో అవసరమయ్యే విధంగా ఆపరేషన్లు చేయండి, అదనంగా మరియు వ్యవకలనం మాత్రమే మిగిలి ఉంటుంది.
   • ఉదాహరణకు, 5 (3x-1) + x (2x / 2) + 8-3x సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 3x మరియు 2x లను వెంటనే సంబంధిత పదాలుగా గుర్తించడం మరియు కుండలీకరణాలు ఉన్నప్పటికీ వాటిని కలపడం తప్పు, ఎందుకంటే మనం మొదట ఇతర ఆపరేషన్లు చేయాలి. ప్రారంభంలో, మేము నిబంధనలను పొందటానికి, ఆపరేషన్ల క్రమం ప్రకారం వ్యక్తీకరణపై అంకగణిత ఆపరేషన్లను చేస్తాము మేము చేయవచ్చు వా డు. క్రింద చూడగలరు:
     • 5 (3x-1) + x (2x / 2) + 8-3x.
     • 15x-5 + x (x) + 8-3x.
     • 15x-5 + x.
       • ఇప్పుడు, అదనంగా మరియు వ్యవకలనం కార్యకలాపాలు మాత్రమే మిగిలి ఉన్నందున, మేము సంబంధిత పదాలను మిళితం చేయవచ్చు.
     • x + 12x + 3.

3 యొక్క విధానం 2: కారకం

1. 

   గుర్తించండి గరిష్ట సాధారణ విభజన వ్యక్తీకరణలో. వ్యక్తీకరణ పరంగా సాధారణ కారకాలను తొలగించడం ద్వారా వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేసే మార్గం కారకం. ప్రారంభించడానికి, వ్యక్తీకరణలోని అన్ని పదాలు పంచుకునే గరిష్ట సాధారణ విభజనను కనుగొనండి - మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వ్యక్తీకరణలోని అన్ని పదాలు సమానంగా విభజించబడే అతిపెద్ద సంఖ్య.
   • 9x + 27x-3 సమీకరణాన్ని ఉపయోగిద్దాం. సమీకరణంలోని అన్ని పదాలను 3 ద్వారా భాగించవచ్చని గమనించండి ఏ మరొక పెద్ద సంఖ్యతో సమానంగా విభజించబడతాయి, మేము దానిని నిర్ణయించగలము 3 వ్యక్తీకరణలో గొప్ప సాధారణ విభజన.

2. 

   వ్యక్తీకరణ యొక్క నిబంధనలను గొప్ప సాధారణ కారకం ద్వారా విభజించండి. తరువాత, సమీకరణంలోని ప్రతి పదాన్ని కనుగొనబడిన గొప్ప సాధారణ కారకం ద్వారా విభజించండి. ఫలిత పదాలు అసలు వ్యక్తీకరణ కంటే తక్కువ గుణకాలను కలిగి ఉంటాయి.
   • మేము మా సమీకరణాన్ని దాని గొప్ప సాధారణ విభజన ద్వారా కారకం చేస్తాము, 3. దీన్ని చేయడానికి, మేము ప్రతి పదాన్ని 3 ద్వారా విభజిస్తాము.
     • 9x / 3 = 3x
     • 27x / 3 = 9x
     • -3/3 = -1
       • కాబట్టి, మా కొత్త వ్యక్తీకరణ 3x + 9x-1.

3. 

   మీ వ్యక్తీకరణను గొప్ప సాధారణ విభజన మరియు మిగిలిన నిబంధనల ఉత్పత్తిగా సూచించండి. క్రొత్త వ్యక్తీకరణ మునుపటి మాదిరిగానే లేదు, అంటే ఇది సరళీకృతం అని చెప్పలేము. ఇది మునుపటి మాదిరిగానే చేయడానికి, ఇది గొప్ప సాధారణ విభజన ద్వారా విభజించబడింది అనే వాస్తవాన్ని గమనించడం అవసరం. కుండలీకరణాల్లో మీ వ్యక్తీకరణను మూసివేసి, అసలు సమీకరణం యొక్క గరిష్ట సాధారణ విభజనను కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణకు గుణకంగా నిర్వచించండి.
   • మా ఉదాహరణ వ్యక్తీకరణ, 3x + 9x-1 విషయంలో, మేము కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణను మూసివేసి, దానిని పొందటానికి అసలు సమీకరణం యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన ద్వారా గుణించాలి. 3 (3x + 9x-1). ఈ సమీకరణం అసలు, 9x + 27x-3 కు సమానం.

4. 

   భిన్నాలను సరళీకృతం చేయడానికి ఫ్యాక్టరింగ్ ఉపయోగించండి. గొప్ప సాధారణ విభజనను తీసివేసిన తరువాత, క్రొత్త వ్యక్తీకరణను మళ్ళీ గుణించాలి అయితే కారకం ఎందుకు ఉపయోగపడుతుందో మీరు ఇప్పుడు ఆలోచిస్తూ ఉండవచ్చు. వాస్తవానికి, కారకాన్ని ఒక గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడం ద్వారా అనేక ఉపాయాలు చేయటానికి అనుమతిస్తుంది. ఒక భిన్నం యొక్క లెక్కింపు మరియు హారంను ఒకే సంఖ్యతో గుణించడం వలన సమాన భిన్నం సంభవిస్తుందనే వాస్తవాన్ని సద్వినియోగం చేసుకోవడం సరళమైనది. క్రింద చూడగలరు:
   • మన అసలు ఉదాహరణ వ్యక్తీకరణ, 9x + 27x-3, దాని హారం 3 తో ​​పెద్ద భిన్నం యొక్క లవము అని చెప్పండి. ఈ భిన్నం ఇలా ఉంటుంది: (9x + 27x-3) / 3. ఈ భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి మేము కారకాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:
     • మేము మా అసలు వ్యక్తీకరణ యొక్క కారకమైన రూపాన్ని న్యూమరేటర్‌లోని వ్యక్తీకరణతో భర్తీ చేస్తాము: / 3.
   • న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ ఇప్పుడు గుణకాన్ని పంచుకుంటాయని గమనించండి. రెండింటినీ 3 ద్వారా విభజించినప్పుడు, మనకు ఇవి ఉంటాయి: (3x + 9x-1) / 1.
   • దాని హారం లో “1” ఉన్న ప్రతి భిన్నం లెక్కింపులోని పదాలకు సమానం కాబట్టి, అసలు భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయవచ్చని మేము చెప్పగలం 3x + 9x-1.

3 యొక్క విధానం 3: అదనపు సరళీకరణ నైపుణ్యాలను వర్తింపజేయడం

1. 

   సాధారణ కారకాలను విభజించడం ద్వారా భిన్నాలను సరళీకృతం చేయండి. పైన పేర్కొన్నట్లుగా, వ్యక్తీకరణ యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం కారకాలు పంచుకుంటే, ఆ కారకాలు భిన్నం నుండి పూర్తిగా తొలగించబడతాయి. కొన్నిసార్లు దీనికి న్యూమరేటర్, హారం లేదా రెండింటి యొక్క కారకం అవసరం (పైన వివరించిన విధంగా), ఇతర సమయాల్లో భాగస్వామ్య కారకాలు వెంటనే స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి. సరళీకృత వ్యక్తీకరణను పొందటానికి, వ్యక్తిగతంగా, హారం లోని వ్యక్తీకరణ ద్వారా లెక్కింపు యొక్క నిబంధనలను విభజించడం కూడా సాధ్యమేనని గమనించండి.
   • తక్షణ కారకం అవసరం లేని ఉదాహరణను చేద్దాం. భిన్నం (5x + 10x + 20) / 10 విషయంలో, సరళీకృతం చేయడానికి మనం ప్రతి పదాన్ని గణనలోని 10 వ సంఖ్యతో విభజించవచ్చు, అయినప్పటికీ 5x లోని “5” గుణకం 10 కన్నా ఎక్కువ కాదు మరియు అందువల్ల. ఆ కారణంగా, ఇది 10 గా విభజించకూడదు.
     • ఇలా చేయడం వల్ల + x + 2 ఫలితం వస్తుంది. మేము కావాలనుకుంటే, ఫలితాన్ని (1/2) x + x + 2 పొందటానికి మొదటి పదాన్ని (1/2) x ద్వారా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

2. 

   రాడికల్స్‌ను సరళీకృతం చేయడానికి చదరపు కారకాలను ఉపయోగించండి. వర్గమూల చిహ్నం కింద వ్యక్తీకరణలను రాడికల్ వ్యక్తీకరణలు అంటారు. స్క్వేర్ రూట్ గుర్తు క్రింద నుండి వాటిని తొలగించడానికి, చదరపు కారకాలను (ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క చతురస్రాలు కారకాలు) గుర్తించడం ద్వారా మరియు వాటిపై స్క్వేర్ రూట్ ఆపరేషన్‌ను విడిగా చేయడం ద్వారా వాటిని సరళీకృతం చేయవచ్చు.
   • ఈ క్రింది ఉదాహరణ చేద్దాం: (9). 90 మరియు దాని రెండు కారకాలైన 9 మరియు 10 యొక్క ఉత్పత్తిగా మనం భావిస్తే, పూర్ణాంకం 3 ను పొందటానికి 9 యొక్క వర్గమూలాన్ని తీసుకొని దానిని రాడికల్ నుండి తొలగించవచ్చు. వేరే పదాల్లో:
     • √(90).
     • √(9×10).
     • .
     • 3×√(10).
     • 3√10.

3. 

   రెండు ఘాతాంక పదాలను గుణించడం ద్వారా ఘాతాంకాలను జోడించండి; ఆ నిబంధనలను విభజించడం ద్వారా వాటిని తీసివేయండి. కొన్ని బీజగణిత వ్యక్తీకరణలకు ఘాతాంక పదాల గుణకారం లేదా విభజన అవసరం. ప్రతి ఘాతాంక పదాన్ని గణించే బదులు మరియు మానవీయంగా గుణించడం లేదా విభజించడం కొన్ని గుణించడం ద్వారా ఘాతాంకాలు మరియు వాటిని తీసివేయండి విభజించేటప్పుడు, సమయాన్ని ఆదా చేయడానికి. వేరియబుల్ వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడానికి కూడా ఈ భావన ఉపయోగపడుతుంది.
   • ఉదాహరణకు, 6x × 8x + (x / x) వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి. ప్రతి సందర్భంలో, ఘాతాంకాలతో గుణించడం లేదా విభజించడం అవసరం అయినప్పుడు, సరళీకృత పదాన్ని త్వరగా కనుగొనడానికి మేము వరుసగా తీసివేస్తాము లేదా చేర్చుతాము. క్రింద చూడగలరు:
     • 6x × 8x + (x / x)
     • (6 × 8) x + (x)
     • 48x + x
   • ఇది పనిచేయడానికి కారణం ఈ క్రింది విధంగా ఉంది:
     • ఘాతాంక పదాలను గుణించడం, సారాంశంలో, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ కాని పదాల పొడవైన గొలుసులను గుణించడం వంటిది. ఉదాహరణకు, x = x × x × x మరియు x = x × x × x × x × x, x × x = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), లేదా x
   • అదేవిధంగా, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ నిబంధనలను విభజించడం అంటే ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ కాని పదాల పొడవైన గొలుసులను విభజించడం లాంటిది. x / x = (x × x × x × x × x) / (x × x × x). న్యూమరేటర్‌లోని ప్రతి పదాన్ని హారం లో కలిపే పదం ద్వారా రద్దు చేయవచ్చు కాబట్టి, మనకు న్యూమరేటర్‌లో రెండు x మరియు హారం లో ఏదీ లేదు, x సమాధానం పొందుతుంది.

చిట్కాలు

• మీరు ఈ సంఖ్యలను సానుకూల లేదా ప్రతికూల సంకేతాలను కలిగి ఉండాలని ఎల్లప్పుడూ గుర్తుంచుకోండి. చాలా మందికి ఆలోచించడం చాలా కష్టం “నేను ఇక్కడ ఏ గుర్తు పెట్టాలి?”
• అవసరమైనప్పుడు సహాయం కోసం అడగండి!
• బీజగణిత వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడం అంత సులభం కాదు, కానీ మీరు దాన్ని ఆపివేసినప్పుడు, మీరు మీ జీవితమంతా ఈ నైపుణ్యాన్ని ఉపయోగిస్తారు.

హెచ్చరికలు

• ఎల్లప్పుడూ ఇలాంటి పదాల కోసం చూడండి మరియు ఘాతాంకాలతో మోసపోకండి.
• వ్యక్తీకరణకు చెందిన ఏ సంఖ్య, ఘాతాంకం లేదా ఆపరేషన్‌ను అనుకోకుండా జోడించవద్దు.