విషయము

• దశలు
• చిట్కాలు

సంక్లిష్ట భిన్నాలు అంటే, వాటిలో న్యూమరేటర్, హారం లేదా రెండూ తమలో భిన్నాలను కలిగి ఉంటాయి. ఈ కారణంగా, సంక్లిష్ట భిన్నాలను కొన్నిసార్లు "పేర్చిన భిన్నాలు" అని పిలుస్తారు. వాటిని సరళీకృతం చేయడం అనేది న్యూమరేటర్ మరియు హారం లో ఎన్ని పదాలు ఉన్నాయో, ఏదైనా నిబంధనలు వేరియబుల్ కాదా మరియు ఆ పదాల సంక్లిష్టతపై ఆధారపడి, తేలిక నుండి కష్టంగా మారవచ్చు. ప్రారంభించడానికి దశ 1 చూడండి!

దశలు

2 యొక్క విధానం 1: విలోమ గుణకారంతో సంక్లిష్ట భిన్నాలను సులభతరం చేస్తుంది

1. 

   అవసరమైతే, సాధారణ భిన్నాలలో లెక్కింపు మరియు హారం సరళీకృతం చేయండి. సంక్లిష్ట భిన్నాలను పరిష్కరించడం కష్టం కాదు. వాస్తవానికి, న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ సరళమైన భిన్నాన్ని కలిగి ఉన్నవి సాధారణంగా పరిష్కరించడానికి చాలా సులభం. అందువల్ల, మీ సంక్లిష్ట భిన్నం (లేదా రెండూ) యొక్క న్యూమరేటర్ లేదా హారం పూర్ణాంకాలతో బహుళ భిన్నాలు లేదా భిన్నాలను కలిగి ఉంటే, ఒకటి లేదా మరొకదానిలో సరళమైన భిన్నాన్ని పొందటానికి అవసరమైనంత సులభతరం చేయండి. అలా చేయడానికి రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ భిన్నాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ విభజన (mDC) ను కనుగొనడం అవసరం.
   • ఉదాహరణకు, మేము సంక్లిష్ట భిన్నాన్ని (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10) సరళీకృతం చేయాలనుకుంటున్నాము. మొదట, సంక్లిష్ట భిన్నాల సంఖ్య మరియు హారం సాధారణ భిన్నాలకు సరళీకృతం చేస్తాము.
     • లెక్కింపును సరళీకృతం చేయడానికి, 3/5 ను 3/3 గుణించడం ద్వారా 15 యొక్క mDC ని ఉపయోగిస్తాము. మా న్యూమరేటర్ 9/15 + 2/15 అవుతుంది, ఫలితంగా 11/15 అవుతుంది.
     • హారం సరళీకృతం చేయడానికి, 5/7 ను 10/10 మరియు 3/10 ను 7/7 ద్వారా గుణించడం ద్వారా 70 యొక్క mDC ని ఉపయోగిస్తాము. మా హారం 50/70 - 21/70 అవుతుంది, ఫలితంగా 29/70 అవుతుంది.
     • కాబట్టి, కొత్త సంక్లిష్ట భిన్నం ఉంటుంది (11/15) / (29/70).

2. 

   
   
   దాని విలోమాన్ని కనుగొనడానికి హారం తిప్పండి. నిర్వచనం ప్రకారం, వాటా ఒక సంఖ్య మరొకదానికి సమానం మొదటిదాన్ని రెండవ విలోమం ద్వారా గుణించండి. ఇప్పుడు మనకు న్యూమరేటర్ మరియు హారం లో సరళమైన భిన్నాలతో సంక్లిష్టమైన భిన్నం ఉంది, దానిని సరళీకృతం చేయడానికి మేము ఈ డివిజన్ ఆస్తిని ఉపయోగించవచ్చు! ప్రారంభంలో, సంక్లిష్ట భిన్నం యొక్క దిగువ భిన్నం యొక్క విలోమాన్ని కనుగొనండి. భిన్నాన్ని "విలోమం" చేయడం ద్వారా దీన్ని చేయండి - మీ న్యూమరేటర్‌ను హారం స్థానంలో ఉంచండి మరియు దీనికి విరుద్ధంగా.
   • మా ఉదాహరణలో, సంక్లిష్ట భిన్నం (11/15) / (29/70) యొక్క హారం లోని భిన్నం 29/70. దాని విలోమాన్ని కనుగొనడానికి, మేము దాన్ని పొందడానికి "తిప్పండి" 70/29.
     • మీ సంక్లిష్ట భిన్నం దాని హారం లో ఒక సంఖ్యను కలిగి ఉంటే, మీరు దానిని ఒక భిన్నంగా పరిగణించవచ్చు మరియు దాని విలోమాన్ని అదే విధంగా కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, మా సంక్లిష్ట భిన్నం (11/15) / (29) అయితే, మేము హారం 29/1 గా నిర్వచించవచ్చు, దీని ఫలితంగా విలోమం 1/29.

3. 

   
   
   హారం యొక్క విలోమం ద్వారా సంక్లిష్ట భిన్నం యొక్క లెక్కింపును గుణించండి. ఇప్పుడు మీరు మీ సంక్లిష్ట భిన్నం యొక్క హారం యొక్క విలోమం కలిగి ఉన్నారు, సరళమైన భిన్నం పొందడానికి దాన్ని లవము ద్వారా గుణించండి! గుర్తుంచుకోండి, రెండు భిన్నాలను గుణించటానికి, మేము కేవలం క్రాస్డ్ పదాలను గుణించాలి - క్రొత్త భిన్నం యొక్క లవము అసలు రెండింటిలోని సంఖ్యల యొక్క ఉత్పత్తి, అదేవిధంగా హారం తో.
   • మా ఉదాహరణలో, మేము 11/15 × 70/29 ను గుణిస్తాము. 70 × 11 = 770 మరియు 15 × 29 = 435. చివరగా, మా కొత్త సాధారణ భిన్నం 770/435.

4. 

   
   
   అతిపెద్ద సాధారణ కారకాన్ని కనుగొనడం ద్వారా క్రొత్త భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయండి. ఇప్పుడు, మనకు సరళమైన భిన్నం ఉంది, కాబట్టి మనం మిగిలి ఉన్నది దాని సరళమైన పరంగా పరిష్కరించడం. న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క గొప్ప సాధారణ కారకాన్ని (ఎల్‌సిడి) కనుగొనండి, దానిని సరళీకృతం చేయడానికి ఆ సంఖ్యతో రెండింటినీ విభజించండి.
   • 770 మరియు 435 యొక్క సాధారణ కారకం 5. ఈ విధంగా, మన భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం 5 ద్వారా విభజించినట్లయితే, మనకు లభిస్తుంది 154/87. 154 మరియు 87 సంఖ్యలకు ఉమ్మడిగా కారకాలు లేవు, కాబట్టి మేము మా తుది సమాధానం కనుగొన్నాము!

విధానం 2 యొక్క 2: వేరియబుల్ నిబంధనలను కలిగి ఉన్న సంక్లిష్ట భిన్నాలను సులభతరం చేయడం

1. 

   సాధ్యమైనప్పుడు, పైన వివరించిన విలోమ గుణకారం పద్ధతిని ఉపయోగించండి. స్పష్టంగా, వాస్తవంగా ఏదైనా సంక్లిష్ట భిన్నాన్ని దాని న్యూమరేటర్ మరియు హారం సాధారణ భిన్నాలకు తగ్గించడం ద్వారా మరియు హారం యొక్క విలోమం ద్వారా లెక్కింపును గుణించడం ద్వారా సరళీకృతం చేయవచ్చు. వేరియబుల్స్ కలిగి ఉన్న కాంప్లెక్స్ భిన్నాలు దీనికి మినహాయింపు కాదు, అయినప్పటికీ సంక్లిష్ట భిన్నంలో వేరియబుల్ వ్యక్తీకరణలు మరింత క్లిష్టంగా ఉన్నప్పటికీ, విలోమ గుణకారం ఉపయోగించడం చాలా కష్టం మరియు సమయం తీసుకుంటుంది. వేరియబుల్స్ కలిగిన "సులభమైన" సంక్లిష్ట భిన్నాల కోసం, విలోమ గుణకారం మంచి ఎంపిక, కానీ న్యూమరేటర్ మరియు హారం లో బహుళ వేరియబుల్ పదాలతో సంక్లిష్ట భిన్నాలు క్రింద వివరించిన ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిలో సరళీకృతం చేయడం సులభం కావచ్చు.
   • ఉదాహరణకు, (1 / x) / (x / 6) విలోమ గుణకారంతో సరళీకృతం చేయడం సులభం. 1 / x × 6 / x = 6 / x. ఇక్కడ, ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించాల్సిన అవసరం లేదు.
   • అయినప్పటికీ, (((1) / (x + 3) + x - 10) / (x + 4 + ((1) / (x - 5))) విలోమ గుణకారంతో సరళీకృతం చేయడం చాలా కష్టం. న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఈ సంక్లిష్ట భిన్నం సాధారణ భిన్నాలకు, క్రాస్ నిబంధనలను గుణించడం మరియు ఫలితాన్ని సరళమైన కారకాలకు తగ్గించడం బహుశా సంక్లిష్టమైన ప్రక్రియ కావచ్చు, ఈ సందర్భంలో దిగువ ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి సులభంగా నిరూపించబడుతుంది.

2. 

   విలోమ గుణకారం ఆచరణాత్మకంగా లేకపోతే, సంక్లిష్ట భిన్నం యొక్క నిబంధనల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ హారంను కనుగొనడం ద్వారా ప్రారంభించండి. ఈ ప్రత్యామ్నాయ సరళీకరణ పద్ధతిలో మొదటి దశ సంక్లిష్ట భిన్నం యొక్క అన్ని నిబంధనలకు mDC ని కనుగొనడం - దాని లెక్కింపులో మరియు దాని హారం లో. సాధారణంగా, ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ భిన్న పదాలు వాటి హారంలలో వేరియబుల్స్ కలిగి ఉంటే, మీ mDC మీ హారం యొక్క ఉత్పత్తి అవుతుంది.
   • ఇది ఉదాహరణతో అర్థం చేసుకోవడం సులభం అని రుజువు చేస్తుంది. పైన పేర్కొన్న సంక్లిష్ట భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం: (((1) / (x + 3) + x - 10) / (x + 4 + ((1) / (x - 5%)). కాంప్లెక్స్ యొక్క నిబంధనలు భిన్నం (1) / (x + 3) మరియు (1) / (x - 5) .ఈ రెండు భిన్నాల యొక్క సాధారణ హారం వారి హారం యొక్క ఉత్పత్తి అవుతుంది: (x + 3) (x - 5).

3. 

   సంక్లిష్ట భిన్నం యొక్క లవమును mDC ద్వారా గుణించండి. తరువాత, మా సంక్లిష్ట భిన్నంలోని పదాలను వాటి భిన్న పదాల mDC ద్వారా గుణించడం అవసరం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, (mDC) / (mDC) 1 కి సమానం కనుక, సంక్లిష్టమైన భిన్నాన్ని (mDC) / (mDC) ద్వారా గుణించాలి. ప్రారంభంలో, లెక్కింపును గుణించండి.
   • మా ఉదాహరణలో, మన సంక్లిష్ట భిన్నం, (((1) / (x + 3) + x - 10) / (x + 4 + ((1) / (x - 5))), (( x + 3) (x - 5)) / ((x + 3) (x - 5)) మేము సంక్లిష్ట భిన్నం యొక్క లెక్కింపు మరియు హారంను గుణించాలి, ప్రతి పదాన్ని (x + 3) గుణించాలి (x - 5) ).
     • ప్రారంభంలో, లెక్కింపును గుణించండి: ((1) / (x + 3) + x - 10) × ((x + 3) (x - 5%).
       • = ((((x + 3) (x - 5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x - 5)) - 10 ((x + 3) (x - 5))
       • = (x - 5) + (x (x - 2x - 15)) - (10 (x - 2x - 15%))
       • = (x - 5) + (x - 2x - 15x) - (10x - 20x - 150)
       • = (x - 5) + x - 12x + 5x + 150
       • = x - 12x + 6x + 145

4. 

   లెక్కింపుతో చేసినట్లుగా, సంక్లిష్ట భిన్నం యొక్క హారం mDC చే గుణించండి. సంక్లిష్ట భాగాన్ని mDC ద్వారా గుణించడం కొనసాగించండి, హారం తరువాత.
   • మా సంక్లిష్ట భిన్నం యొక్క హారం, (((1) / (x + 3) + x - 10) / (x + 4 + ((1) / (x - 5))), (x + 4 + ( (1) / (x - 5%)) .మేము కనుగొనబడిన mDC చేత గుణించాలి, (x + 3) (x - 5).
     • (x + 4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x - 5)
     • = x ((x + 3) (x - 5) + 4 ((x + 3) (x - 5)) + (1 / (x - 5)) (x + 3) (x - 5)
     • = x (x - 2x - 15) + 4 (x - 2x - 15) + ((x + 3) (x - 5)) / (x - 5)
     • = x - 2x - 15x + 4x - 8x - 60 + (x + 3)
     • = x + 2x - 23x - 60 + (x + 3)
     • = x + 2x - 22x - 57

5. 

   దొరికిన న్యూమరేటర్ మరియు హారం నుండి క్రొత్త మరియు సరళీకృత భిన్నాన్ని రూపొందించండి. భిన్నాన్ని దాని వ్యక్తీకరణ (mDC) / (mDC) ద్వారా గుణించి, దగ్గరి పదాలను కలపడం ద్వారా దాన్ని సరళీకృతం చేసిన తరువాత, మీకు ఎటువంటి భిన్నమైన నిబంధనలు లేకుండా సాధారణ భిన్నం ఉండాలి. మీరు గమనించినట్లుగా, అసలైన సంక్లిష్ట భిన్నంలో mDC చేత భిన్న పదాలను గుణించడం ద్వారా, ఈ భిన్నాల యొక్క హారం ఒకదానికొకటి రద్దు చేసుకుంటాయి, మీ జవాబు యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం లో వేరియబుల్ నిబంధనలు మరియు పూర్ణాంకాలను వదిలివేస్తాయి, కానీ భిన్నాలు లేకుండా.
   • పైన కనిపించే న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఉపయోగించి, మేము ప్రారంభ కాంప్లెక్స్‌కు సమానమైన భిన్నాన్ని నిర్మించవచ్చు, కాని పాక్షిక నిబంధనలు లేకుండా. పొందిన న్యూమరేటర్ x - 12x + 6x + 145, మరియు హారం x + 2x - 22x - 57, తద్వారా కొత్త భిన్నం ఉంటుంది (x - 12x + 6x + 145) / (x + 2x - 22x - 57).

చిట్కాలు

• మీ పని యొక్క ప్రతి దశను ప్రదర్శించండి. మీరు చాలా త్వరగా అనుసరించడానికి ప్రయత్నిస్తే లేదా వాటిని మీ మనస్సులో చేయడానికి ప్రయత్నిస్తే భిన్నాలు సులభంగా గందరగోళంగా మారతాయి.
• సంక్లిష్ట భిన్నాల ఉదాహరణలను ఆన్‌లైన్‌లో లేదా మీ పుస్తకాలలో కనుగొనండి. మీరు వాటిని హాయిగా చేయడం అలవాటు చేసుకునే వరకు ప్రతి దశను అనుసరించండి.